离散markovian跳变系统稳定性探究和控制器设计

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1、离散Markovian跳变系统稳定性探究和控制器设计【摘要】本文以离散Markovian跳跃系统为研究对象，利用Lyapunov稳定性定理，分析该系统的稳定性，并借助线性矩阵不等式(LMIs)的方法得到稳定性条件及控制器形式，并对实际系统进行仿真，得到控制器参数。【关键词】离散Markovian跳跃系统；Lyapunov稳定法；性矩阵不等式(LMIs)0.引言在实际工业过程中，存在着愈加复杂的关联子系统，子系统的相关关联的转变、零件故障以及外界环境的突变，都会引起系统的结构和参数的变化，由这些突变产生的系统我们称之为Markovian跳跃系统［1］。这类系统

2、可以描述众多的实际系统，对实际控制过程有较大价值，因此得到广泛关注。另一方面，迅猛发展的科技水平使得各种工业过程、生产设备以及其他很多的被控对象日益复杂化、大型化，系统维数呈现越来越高的趋势，所以，要想实现对工业过程的更优控制，要求更好地利用及优化Markovian模型，深入研究该类系统的稳定性条件以及控制策略，这不仅有重要的理论价值，也具有很重要的实际意义。1.系统描述1.1离散Markovian跳跃系统离散Markovian跳变系统定义为一类具有Markov跳跃参数的离散时间切换系统，切换系统在切换的过程中，每一时刻的系统模式对应于一个子系统的模型，由切

3、换序列确定每一时刻系统切换到哪一个子系统［2］。而Markov跳跃系统在模态的切换过程中并没有遵循任何固定的切换序列，各模态间是随机切换的，但这种随机切换是符合一定的统计特性，即服从Markov跳跃过程的，因此也被视为一类特殊的随机系统，或称随机Markov跳跃系统。而离散Makovian系统就是模态参数为离散的一类随机系统。针对离散Markovian跳变系统，Ji等证明了二阶矩稳定（均方稳定、随机稳定与指数均方稳定）是相互等价的特性，并运用随机Lyapunov泛函方法得到了随机稳定、随机镇定，均方稳定及几乎必然稳定的条件。接着，Boukas等以代数Ricc

4、ati方程的形式给出了离散Markovian跳跃系统的稳定性及鲁棒镇定性条件［3］。1.2系统模型考虑离散Markovian跳跃系统的模型为［4］：（公式1）其中，和是系统的状态和控制输入。这里，是离散同质的Markovian链，在有限状态空间={1,2,..,N}取值，状态转移概率矩阵为，，其中状态转移概率代表从模态到模态的转移概率，并且：,(公式2)对于任意，O1.系统稳定性分析1.1李亚普诺夫稳定法李雅普诺夫法是建立在普遍情况之上的一种稳定判据，即：如果系统有一个渐进稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的邻域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直

5、到平衡状态处达到最小值［5］。若能找到一个完全描述上述过程的所谓的能量函数，则系统的稳定性问题也就容易解决了，对于离散跳变系统，引入李亚普诺夫能量函数，即：对于离散Markovian跳变系统而言，若存在正定函数，且满足999则平衡状态是渐进稳定的，如果是渐进稳定的，且当时,有，则是全局渐进稳定的。利用这种方法，我们就可以构造一个正定函数，用来判断系统的稳定情况。2.2系统稳定条件定理2.1对于系统(1),若存在一个正定矩阵P满足线性矩阵不等式，其中，，则系统随机稳定［6］。证明：分析系统稳定性时，令，系统模型简化为：,（公式3）设定能量方程为：其中，P为正定

6、矩阵，令，对于离散系统，变量的变化率用差分方程来表示，若要系统稳定，则要满足：（公式4）其中，将公式3代入公式4,得：（公式5）由公式5可得证：即为系统稳定条件。3•系统控制器设计Markovian跳跃系统是一个随机性较强的系统，在控制系统的应用中，为了防止发生数据丢失、错发，要设计控制器使系统稳定。1.1问题描述设计控制器要考虑到系统的输入，系统模型为：（公式6）其中，为反馈控制器，且令1.2稳定性分析考虑Lyapunov能量方程的形式为，对能量方程进行微分，得到差分方程如下：（公式7）将公式6代表的系统带入代入公式7,得到：（公式8）由公式8可知，要想满

7、足，使能量方程为衰减，需要满足：（公式9）可知，公式9即为离散系统的稳定性条件。3.3控制器设计已知离散Markovian跳变系统的稳定性条件为：其中，，将其带入稳定性条件并变形得到：（公式10）以分别左乘和右乘上式公式10,得到其中，那么可由Schur补引理[7],得到下列矩阵不等式其中，*代表矩阵的对阵部分。令，得到令，得到（公式10）由矩阵不等式公式10可知，要想得到控制器表达式，利用LMIs解得上式关于的解，控制器的表达形式为，使用Matlab进行求解。4.数值算例设跳跃系统的两个模态参数为：其中，状态转移概率矩阵设为,通过matlab求解得到由得到

8、,o且t值为负数，结果验证了控制器设计的有效性。3.