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时间:2019-03-03
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1、类型一:椭圆的基本量 1.指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率. 解析:椭圆的方程为,所以,,. ∴焦点坐标为, 准线方程为和, 离心率. 总结升华:要将椭圆的方程化为标准形式,才能确定基本几何量. 举一反三:【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离=________【答案】7 【变式2】椭圆的两个焦点分别为,过的直线交椭圆于A、B两点,则的周长=___________.【答案】20 【变式3】已知椭圆的方程为,焦点在x轴上,则m的取值范围是()。 A.-4≤m≤4且m≠0 B.-4<m<
2、4且m≠0 C.m>4或m<-4 D.0<m<4 【答案】B 【变式4】已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为(0,2),求m的值。【答案】m=5。类型二:椭圆的标准方程 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10; (2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点。 思路点拨:用待定系数法。 解析:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为。 ∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4 ∴b2=a2-c2=52-42=9
3、 ∴所求椭圆的标准方程为; (2)∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为 由椭圆的定义知,, ∴ 又c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6 ∴所求椭圆的标准方程为。 总结升华:求椭圆的标准方程就是求a2及b2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为;当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为。 举一反三:【变式1】两焦点的坐标分别为,且椭圆经过点。 【答案】。 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点,并且经过点(3,-2),求此椭圆的方程。 【答案】。 3.求经过点P(-3
4、,0)、Q(0,2)的椭圆的标准方程。 解析:设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)。 ∵椭圆经过点P(-3,0)和Q(0,2), ∴∴ ∴所求椭圆方程为。 总结升华:在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置,然后再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),而不规定m与n的大小关系,从而避免讨论焦点的位置。 举一反三: 【变式】已知椭圆经过点P(2,0)和点,求椭圆的标准方程。 【答案】 4.求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程。
5、 解析:把方程4x2+9y2=36写成,则其焦距为 由题知,则, ∴a=5,b2=a2-c2=52-5=20 ∴所求椭圆的方程为或。 总结升华:本例中由于没指明焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式。 【变式1】在椭圆的标准方程中,,则椭圆的标准方程是() A. B. C. D.以上都不对 【答案】D 【变式2】椭圆过(3,0)点,离心率,求椭圆的标准方程。 【答案】或。 【变式3】长轴长等于20,离心率等于,求椭圆的标准方程。 【答案】或。 【变式4】已知椭圆的中心在原点,经过点P(3,0)且a=3
6、b,求椭圆的标准方程。 【答案】或。类型三:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 5.已知椭圆一条准线为,相应焦点为,长轴的一个顶点为原点,求其离心率的取值。 解析:椭圆长轴顶点到相应焦点的距离为,准线到相应焦点的距离为. 由已知得,解得,. 举一反三: 【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分,则椭圆离心率为() A. B. C. D.不确定 【答案】B 【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( ) 【答案】D 【变式3】椭圆上一点到两焦点的距离分别为,焦距为,若成等差数列,则椭圆的离
7、心率为__________。 【答案】 【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,则这个椭圆的离心率等于___________。 【答案】 6.已知椭圆,F1,F2是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使,求其离心率的取值范围。 解析:△F1PF2中,已知,
8、F1F2
9、=2c,
10、PF1
11、+
12、PF2
13、=2a, 由余弦定理:4c2=
14、PF1
15、2+
16、PF2
17、2-2
18、PF1
19、
20、PF2
21、cos120°① 又
22、PF1
23、+
24、PF2
25、=2a② 联立①②得4c2=4a2-
26、PF1
27、
28、PF2
29、
30、,∴ 总结升华:
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