浅谈无限的起源及发展研究

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1、浅谈无限的起源及发展研究【摘要】无限在高等数学中占有十分重要的地位•高等数学更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论•极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以高等数学的学习就特别需耍更加清晰地理解认识无限.【关键词】无限；极限；认识；理解无限在数学及其数学教学中占有十分重要的地位•初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论•高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论•极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所

2、以高等数学的学习就特别需要更加清晰地理解认识无限•人们习惯于有穷下的思维，一旦遇到?。限就要格外小心，而高等数学就是与无限打交道的.一、无限追源中国有句古话：“一尺之極，日取其半，万世不竭•”一尺本来只是有限的长度，却永远也分不完•这古话里的无限足以让我们去深深地理解和认识.（一）古希腊（公元前6世纪前后）的穷竭法从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍得到正八边形、正十六边形……，无限重复这一过程，随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形•安提半的穷竭过程是无限的，在当时主要是解

3、决古希腊三大不能尺规作图问题之画圆为方，当然未能真止解决这一问题•两千多年以后证明了n的超越性也就证明了画圆为方不能尺规作图.（二）芝诺悖论古希腊时期的芝诺从哲学的角度提出了四个著名的悖论：1•两分法；2•阿基里斯与乌龟；3•非矢不动；4.运动场.其中第二个悖论：阿基里斯永远追不上乌龟.假设乌龟在阿基里斯前血100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍.如图：阿基里斯在A点时，乌龟在B点；阿基里斯追到B,乌龟爬到C；阿基里斯追到C,乌龟爬到D；……阿基里斯离乌龟越来越近，也就是AB,BC,CD,……这些线段

4、越来越短，每个都只有前一个的110,每一个线段的长度都不会是0,亦即当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他都追不上乌龟.（三）刘徽的割圆术刘徽从一个圆内接正六形出发，将边数逐步加倍得到正十二边形、正二十四边形……，用圆内接正多边形去逼近圆•通过计算正多边形的周长和面积，从而得到圆的周长和曲积•用圆内接正多边形去逼近圆，这种逼近的过程是永无止境的，亦即无限的.二、希尔伯特旅馆现实世界的旅馆哪怕是全球连锁都只有有限个客房，客满以后再来客人就无法安排入住了•“有无数个房间的旅馆”一一人们把它称

5、之为希尔伯特旅馆，当然这样的旅馆只是人脑的产物.希尔伯特旅馆客满后乂来了1位客人，老板能安排入住.老板可以先请岀原来房间里的所有客人，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，这样原来的客人都有房间住了，而1号房间却空出来了，可以让新来的客人入住.希尔伯特旅馆客满后乂来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板也能安排入住.老板可以先请出原来房间里的所有客人，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间

6、的客人搬到6号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，只占用了偶数号房间，所有的奇数号房间却空出来了，有无数个奇数号房间正好可以让新来的无穷个客人入住.希尔伯特旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无数个客人，老板仍能安排入住.老板先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，空出了一万个又一万个的空房间，止好可以让新来的一万个旅游团中的每一个客人入

7、住.希尔伯特旅馆客满后又来了无数个旅游团，每个团中都有无数个客人，老板能否安排?答案是肯定的•上面的方法用不上了（方法等同于有理数排序，在此不再赘述），原因是从有限到了无限.三、极限的产生和发展无论是古希腊的穷竭法还是刘徽的割圆术，都孕育着极限的思想，只不过古希腊人“对无限的恐惧”绕开了极限，今天的我们对无限仍然是一知半解，就算是从事数学教育的也需要很好地理解和认识，所以才会有上述的“希尔伯特旅馆”，这样的旅馆是二十世纪初德国大数学家希尔伯特给数学家们举的例子，目的是帮助人们认识无限、无穷大.极限思想

8、的发展与微积分的建立密切相关・17世纪后半叶，牛顿、莱布尼兹各口独立的创建了微积分•起初牛顿和莱布尼兹以无穷小为基础建立微积分，后来都遇到了逻辑困难•以牛顿为例，他的微积分方法是：第一步他用无穷小增量作分母进行除法，第二步他把无穷小增量看作零，去掉包含着它的项，从而得到变化率一一导数•英国大主教贝克莱指责牛顿:无穷小增量既可做分母就不应该是零，包含它的项就不该去掉；如果可以认为是零，那它就不应该作分母进行除法•贝克莱的指责是一针见血的.微积分创建之后两个