基于分形理论的密码算法

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1、http://www.paper.edu.cn基于分形理论的密码算法刘文涛，孙文生北京邮电大学电信工程学院，北京(100876)E-mail:liuwentao3213@163.com摘要：在概括性介绍分形理论的基础上，对分形理论在密码学的应用进行了研究，提出了分形密码算法。由于分形图形的不规则性，该算法用于数据加密，使非法用户很难破解，大大增强了信息的安全性。关键词：分形理论，密码学，算法。1．引言密码技术自古有之。目前，已经从外交和军事领域走向公开，且已发展成为一门结合数学、计算机科学、电子与通信、微电子等技术的交叉学科，使用

2、密码技术不仅可以保证信息的机密性，而且可以保证信息的完整性和确定性，防止信息被篡改、伪造和假冒。密码算法则是密码的核心，在保障信息安全上其重要性是不言而喻的。为此，世界各国对密码算法的研制都高度重视，1977年美国NIST提出数据加密标准(DES)，出于政治原因和技术原因，多种密码算法在世界各国相继出现，这些算法有：MARS、RC6、IDEA、MMB、CS-Cipher、SKIPJACK等对称密码算法以及背包公钥算法、RSA、ECC、NTRU等非对称密[6]码算法。以上这些算法有些已经遭到了破译；有些安全强度不高；有些强度不明，还

3、有待进一步分析。本文在介绍分形理论的基础上，对分形图形在密码学的应用进行了深入的研究，提出一种新的密码算法，重点分析了该算法的实现过程，并对其安全性作出说明。2.基于分形理论的密码算法分形理论的发展可分为三个阶段。第一阶段是从1827年到1925年。在此阶段，数学家们构造并且研究了种种奇遇或病态的集合及其图像，而且试图对这类集合与经典集合的差别进行描述、分类和刻画，其中一些后来被认为是典型的分形。第二阶段大致为1926年到1975年。在这半个世纪里，人们对分形的性质作了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。这一阶段系

4、统、深入的研究深化了第一阶段的思想，不仅逐渐形成理论，而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中。第三阶段为1976年至今，这使分形在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段，由于分形几何极强的应用性，它在物理相变理论、材料的结构与控制、力学中的断裂、高分子链的聚合、自然图形的模拟、酶的生长等领域取得了令人瞩目的成果。在应用学科和计算机图形的推动下，分形的随机理论，运动系统的吸引子理论与分形的局部结-1-http://www.paper.edu.cn构等方面也获得了较深入的研究结果。2.1一些著名的分形图形2.1.1康托尔集

5、（Cantorset）康托尔于1883年首先提出来的一种一维空间中的自相似结构，如图1所示，取一直线段（0，1），把它分为3等分，然后去掉当中一段，对留下的每一段又三等分并去掉其中间一[1]段，如此不断地做下去，留下的所有线段就构成了所谓的康托尔集。显然康托尔集构成了一个无穷层次的自相似结构。图1康托尔集2.1.2席尔宾斯基垫片（Sierpinskigasket）取一个等边三角形，将其分割为4个大小相等的等边三角形并挖去其中间的一个，对剩下的三个又各分为4个小的等边三角形并挖去中间的一个，如此分下去，最后所得到的[1]图案便构成一

6、个无穷层次的自相似结构，如图2所示，称为席尔宾斯基垫片或箭头图案。2.1.3席尔宾斯基地毯（Sierpinskicarpet）将一个正方形等分为9个小正方形并挖去中间的一个，如图3所示，把剩下的八个再[1]依次这么处理，如此做下去，最后得到一个无穷层次的自相似结构，称为席尔宾斯基地毯。图2席尔宾斯基垫片图3席尔宾斯基地毯2.1.4大自然中的分形图大自然中很多图形也具有奇特的自相似结构，图4为植物的叶子，图5为雪花。-2-http://www.paper.edu.cn图4植物的叶图5雪花2.2分形维数[2]分形维数是描述分形的重要参

7、数，能够反映分形的基本特征，但由于侧重面不同，有多种定义和计算方法。常见的有相似维数、豪斯道夫维数、容量维数、计盒维数等，它们有各自不同的应用。以下介绍几种常见的定义。2.2.1相似维数Ds一般来说，如果某图形是由把原图缩小为1/r的相似的N个图形组成，则有关系式Dr=N，D=logN/logr成立，其中指数D称为相似维数，D可以是整数，也可以s是分数。相似维数通常被定义为具有严格自相似性的维数。2.2.2容量维数Dc容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数，由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的。设一几何对象

8、S，若用直径为ε的小球为标准去覆盖S，所需的小球的最小数量为N(ε)，则S的容量维数为：logN(ε)D=climε→0log(/1ε)2.2.3豪斯道夫(Hausdorff)维数DH设一个整体S划分为N个大小和形态完全相同的小图形，每一个小图形的