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1、第二课时锥曲线中的定点与定值问题课堂•考支突就asra圆锥曲线中的定点问题I明技法］圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线屮系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何吋没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.［提能力］22【典例】(2018・邵阳联考)已知椭圆卡+”=1(°>0,Q0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线/与x轴正半轴和尹轴分别交于点0、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足PM=mMO,PN=X2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若久i+久2
2、=—3,试证明：直线/过定点并求此定点.(1)解:设椭圆的焦距为2c,由题意知b=l,且(2zz)2+(26)2=2(2c)2,2又a2=h2+c2fAt/2=3./.椭圆的方程为y+j^2=1.(2)证明:由题意设P(0,m)f2(x()P),M(x},/),N(X2,力)，设/方程为x=t(y—m)f由PM=XMQ知(q,yi—w)=Ai(x0—xH一尹1),^y~/n=~yA］、由题意刃HO,-―►—►)Yl同理由PN=&2NQ知2,2=~—1.*.*z1+z2=—3,+y2)=0,①得("+3)y2—2mt2y+12m2—3=0,•:由题意知A=4/??2/4—4(/2+
3、3)(Z2w2—3)>0,②且有y+V2=Imt1t2m2—3—，yiy2=^+T^③③代入①得r2/??2—3+2/w2r2=0,/.(mt)2=1,由题意mt<0,・・・〃"=—1,满足②.，得直线/方程为x=ty+f过定点(1,0),即0为定点.［刷好题］如图，过顶点在原点、对称轴为尹轴的抛物线E上的定点力(2,1)作斜率分别为川，k2的直线，分别交抛物线E于乩C两点.(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若岛+局=冏血，证明：直线恒过定点.(1)解：设抛物线E的标准方程为x2=ayfr/>0,将71(2,1)代入得，a=4.所以抛物线E的标准方程为x2=4y,准线方程
4、为y=—.(2)证明：由题意得，直线力3的方程为y=kix+l-2klf直线/C的方程为y=k2x+1一2他，2兀=4yf联立，丄I“消去，得y=kx+—2kt/一4局兀一4(1一2血)=0,解得x=2或x=4kj—2,因此点B(4k、一2,(2£］—1尸)，同理可得C(4舄一2,(2^-1)2).于是直线的斜率为:=k+«2—1,(2血一1尸一(2局一1F_4伙］一眉)伙1+他一1)(4山一2)—(4他一2)一4(為一他)又ki+k2=kik2,所以直线BC的方程为夕一(2局一1)2=仇比2—1)•［兀一(4局一2)］,即y=(kk；2—)x—lkk2~~1=伙］局
5、一l)(x—2)—3.故直线BC恒过定点(2,—3).圆锥曲线中的定值问题［明技法］圆锥曲线屮的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；（3）求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.［提能力］22【典例】己知椭圆C：卡+”=1,过力（2,0）,B（O,1）两点.（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线刊与尹轴交于点M,直线与兀轴
6、交于点N,求证：四边形ABNM的而积为定值.（1）解:由题意得a=2,b=l,2所以椭圆C的方程为亍+歹2=1・又c=y］a2—b2=yf3f所以离心率e=~=^.（2）证明：设P（x。，刃））（x°VO,为VO）,则并+4分=4.又力（2,0）,3（0,1）,所以直线的方程为y=一（X—2）.令x=0,得—2j，oxo~2从而=1—y2/=1+2yoX。一2直线PB的方程为尹=地二丄r+1.X。令）;=0,得Xn=~夕0_从而AN=2-xn=2+^-刃）_1所以四边形ABNM的面积S=_x6+4y6+4xoy（）—4x（）—8刃）+42（xqR）—x（）—2刃）+2）_2%（护
7、（）_2x（）_4刃）+4_£側0_旳一2刃）+2从而四边形ABNM的面积为定值.［刷好题］如图，在平面直角坐标系xO丿屮，点彳*，0),直线/：x=-
8、,点P在直线/上移动,R是线段PF与y轴的交点，RQLFP,PQL.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过力(1,0),且圆心M在曲线C上，TS是圆M在尹轴上截得的弦，当M运动时，弦长
9、石
10、是否为定值？请说明理由.解：(1)依题意知，点/?是线段FP的中点，且RQ丄FP,:.RQ是线段〃
