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1、第三课时锥曲线中的证明与探索性问题课堂•考支突就asra圆锥曲线中的证明问题I明技法］圆锥曲线中证明问题的类型及方法圆锥曲线屮的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接•法或反证法.［提能力］2【典例】(2017-全国•卷II)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y+/=l±,过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足丽=返屁.(1)求点卩的轨迹方程；(2)设点0在直线兀=一3上，且乔•甩=1证明：过点P且垂直于00的直线/过C的左焦点F.⑴解：设P(x,y),Wo,为)，则N(x(),O)，NP=(x-x()9y),W
2、=(0,y0).由廉=迈丽得x()=x,99V_因为A/(x0,刃))在C上，所以y+'2_=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明：由题意知F(—1,0).设0(—3,/),P(tn,/7),则00=(—3,/),PF=(—1—/n,—n),OQPF=3+3tn—(n,OP=(m,/?),PQ=(—3—m,t~n).由OPPQ=1得一3ni—t)r-~tn—/=1,又由(1)知ni2+n2=2f故3+3〃z—〃?=0・所以00•序=0,即00丄丽.又过点P存在唯一直线垂直于00,所以过点P且垂直于O0的直线/过C的左焦点F.［刷好题］22(2
3、01&临沂模拟)设椭圆E的方程为孑+”=l(d>b>0),点。为坐标原点，点力的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,历，点M在线段M上，满足BM=2MA,直线OM的斜率为书.(1)求E的离心率幺；(2)设点C的坐标为(0,—b),N为线段/C的中点，证明：MNL4B.(1)解：由题.设条件知，点M的坐标为(知，如)，(2)证明：由N是线段/C的中点知，点N的坐标为(*a,一如)，可得烦/=(右，詁)由(1)可知a2=5b2f所以乔•而=0,故MN—B.考点❸圆锥曲线中的探索性问题［明技法］探索性问题的求解策略(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将
4、不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元索(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.［提能力］22【典例】(201&邯郸模拟)如图，已知尺、尺是椭圆G：卡+非=1(0>6>0)的左、右焦点，直线l：y=k(x+l)经过左焦点円，且与椭圆G交于/、3两点，△/BE的周长为4羽.(1)求椭圆G的标准方程；(2)是否存在直线/,使得△/3局为等腰直角三角形？若存在，求出直线/的方程；若
5、不存在，请说明理由.解：(1)设椭圆G的半焦距为c,因为直线/与x轴的交点为(-1,0),故c=l・又厶ABF2的周长为4筋，即AB+AF21+1^21=467=4^3,故a=€・所以，b2=a2—c2=3—1=2.22因此，椭圆G的标准方程为y+y=1.(2)不存在•理由如下：先用反证法证•明力3不可能为底边，即AF2^BF2.由题意知环0),设*],九),Bg力)，假设AF2=BF29贝U(Xj—l)2+yi=p(兀2-1F+応,代入上式,消去血爲得:(X1—X2)(X
6、+兀2一6)=0.因为直线/斜率存在，所以直线/不垂直于兀轴
7、,故X]+x2=6(与兀2冬迈，兀1+"2冬2寸5<6,矛盾)•联立方程f+i=1‘得(3斥+2)”+6«・+3疋_6=0,,=蚣+1),所以X]+x2=~6/C3泾+2=6,矛盾.故AF2^BF2.再证明力3不可能为等腰直角三角形的直角腰•假设△力3尸2为等腰直角•三角形，不妨设力为直角顶点.设AF}=my则AF21=2羽一加，在△力鬥尸2中，由勾股定理得：加，+(2羽一加F=4,此方程无解.故不存在这样的等腰直角三角形.[刷好题](2018-长沙模拟)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点>1(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆
8、C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线/,使得直线I与椭圆C有公共点，且直线OA与I的距离等于4?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.22解得c=2.a=4.解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为刍+£=l(a>b>0),且可知其左焦点为F1(-2,0).从而有f_2',[2a=AF+AFf
9、=3+5=8,又a2=b2+c29所以"2=12,故椭圆C的方程为話+==】•3(2)假设存在符合题意的直线人设其方程为y=^x+t.P；=
10、y+z,由＜22得3«+3/x+/2—12=0.工+匚1116十12-因为直线/与椭圆C有公共点，所以/=(3疔
11、一4X3X(/—12)30,解得一4书WW4甫.另一
