baidu-线性代数-吧-部分问答-汇总

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1、题目摘自“百度贴吧”，解答仅供参考若打印/复印本文档，请选择双面格式或用废纸行列式xx101x23中,x的3次方的系数是多少?23x2112x[答]上述行列式中x的3次方的系数为−1.[分析]根据行列式的定义,4阶行列式写成Σ和式后,通项为(1−)τ(,jj12,j3,j4)aaaa12jj123j34j4其中j1,j2,j3,j4为1,2,3,4的全排列,τ(j1,j2,j3,j4)表示排列j1,j2,j3,j4的逆序数.注意到通项中的aij取自不同的行和不同的列,上述4阶行列式的展开式中只有τ(2134)13(−1)a12a21a33a44=(−1)x1xx=−x3这一项含有x,其系数为−

2、1.矩阵若n阶非零实数矩阵的转置和它的伴随相等,怎么证明它可逆?T[证明]记A的转置为A,A的伴随矩阵为A*,A的秩为r(A).abd−bTac(1)当n=2时,设A=(cd),则A*=(−ca),A=(bd).故由条件可得a=d,b=−c,而且a,b不全为0.22于是

3、A

4、=ad−bc=a+c>0,因而A可逆.T(2)当n>2时,由条件可知00矛盾.若r(A)=n−1,则A*不等于0,且AA*=0.可见0

5、A*)≤1,因而r(A*)=1

6、A

7、=0,于是AA=AA*=

8、A

9、E=0,矛盾!所以A可逆.T[证明]设A中某个元素aij不等于零,则AA的第i行第i列处的元素为T222(ai1,ai2,...,ain)(ai1,ai2,...,ain)=ai1+ai2+...+ain>0.T又因为AA=AA*=

10、A

11、E,比较等式两端的第i行第i列处的元素可得222

12、A

13、=ai1+ai2+...+ain>0,所以A可逆.版本号：2010/10/30z990

14、303@seu.edu.cn;272365083@qq.com1题目摘自“百度贴吧”，解答仅供参考若打印/复印本文档，请选择双面格式或用废纸【注1】由上面的证明可以看出

15、A

16、>0.T【注2】当n>2时,由AA=AA*=

17、A

18、E可得2TTn

19、A

20、=

21、A

22、

23、A

24、=

25、AA

26、=

27、AA*

28、=

29、A

30、,n−2因而

31、A

32、=1.进而由

33、A

34、>0得

35、A

36、=1.T【注3】当n>2时,由上面的

37、A

38、=1可得AA=AA*=

39、A

40、E=E,即A为正交矩阵.k−12k−1设A为n阶方阵,对某整数k>1,A=0,证明(E−A)=E+A+A+...+A.k[证明]因为A=0,所以2k−1(E−A)(E+A+A+...+A)2k−

41、12k−1=E(E+A+A+...+A)−A(E+A+A+...+A)2k−12k−1k=E+A+A+...+A−A−A−...−A−A=E,−12k−1可见(E−A)=E+A+A+...+A.2对称方阵A满足A=0.证明A=0.TT设A为m行n列的矩阵,B=AA,其中A表示A的转置,则有以下结论:T[命题1]线性方程组Ax=0的解一定是Bx=0的解.(其中B=AA)[证明]设向量a是Ax=0的解,则Aa=0.TT于是Ba=AAa=A0=0.可见a是Bx=0的解.T[命题2]线性方程组Bx=0的解一定是Ax=0的解.(其中B=AA)[证明]设向量b是Bx=0的解,则Bb=0.TT于是bBb=b

42、0=0.TTTT2另一方面,bBb=bAAb=(Ab)(Ab)=

43、

44、Ab

45、

46、,其中

47、

48、Ab

49、

50、表示向量Ab的长度.2由上述两个方面可得

51、

52、Ab

53、

54、=0,因而

55、

56、Ab

57、

58、=0,进而得Ab=0.可见b是Ax=0的解.T[命题3]线性方程组Ax=0与Bx=0同解.(其中B=AA)[证明]综合上面的命题1和命题2立得.(注意:线性方程组Ax=0含有m个方程n个未知数;Bx=0含有n个方程n个未知数.根据命题3,它们具有相同的基础解系)T[命题4]秩(A)=秩(B).(其中B=AA)[证明]因为线性方程组Ax=0与Bx=0的基础解系中所含解向量的个数分别为n−秩(A)与n−秩(B),故由命题3可见n−秩

59、(A)=n−秩(B).因而秩(A)=秩(B).2[推论]若对称方阵A满足A=0,则A=0.版本号：2010/10/30z990303@seu.edu.cn;272365083@qq.com2题目摘自“百度贴吧”，解答仅供参考若打印/复印本文档，请选择双面格式或用废纸2T2T[证明]设对称方阵A满足A=0,则AA=AA=A=0,因而秩(AA)=0.T由命题4可知秩(A)=秩(AA)=0,所以A=0.