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1、数学高考热点、盲点透析向量【重点难点解析】通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向塑的儿何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向蚩的概念及表示法，了解共线向量的概念.例1判断下列各命题是否正确⑴若I：丨=I方丨，则齐&(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.⑶若g",乙二c,则a二c(4)两向量方、&相等的充要条件是//b⑸Ia=b是向量a=b的必要不充分条件.(6)AB二CD的充要条件是A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相
2、等，但它们的方向不一定相同.(2)正确.•:AB=DC,：.AB=DC丨且忑〃反.又A、B、C、D是不共线的四点.・・・四边形ABCD是平行四边形，反Z,若四边形ABCD是平行四边形则AB£DC,且忑与反方向相同，因此AB=DC.⑶正确・Ta-b・・・：，Z的反度相等且方向相同;:丄,7的长度相等且方向相同.a,c的长度相等且方向相同，故a=c(4)不正确.当a//bt但方向相反，即使a=b,也不能得到a=b,故ra=ba//b不是a=b的充要条件.(5)正确.这是因为
3、a
4、=
5、b
6、a=bf但°二乙二＞IaI=Ib丨，所以丨a
7、丨二丨bI是a二b的必要不充分条件.(6)不正确.这是因为A3二CQ时，应有：丨人3丨二丨CQ丨及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.说明：①针对上述结论⑴、⑷、(5),我们应该清醒的认识到,两非零向2、&相等的充要条件应是：、忌的方向相同且模相等.②针对结论(3),我们应该理解向量相等是可传递的.③结论(6)不正确，告诉我们平面向量2与乙相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这吋它们的终点必重合.例2如图所示，ZkABC中，三边长IAB
8、、IBCI、IACI均不相等，E
9、、F、D是AC,AB,BC的中点.(1)写出与EF共线的向量.(2)写出与乔的模大小相等的向量.(3)写出与丽相等的向量.解：(DTE、F分别是AC,AB的中点・・・EF〃BC从而，与乔共线的向量，包括：FE,BD,DE,DC,CD,BC,CB.⑵・・・E、F、D分别是AC、AB、BC的中点・・・EF石就石BC.又TAB、BC、AC均不相等从而，与丽的模大小相等的向量是：~FE.BD.DB.DC.CD(3)与丽相等的向量，包括：DB.CD.例3判断下列命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的儿
10、个向量是相等的向量.(4)不相等的向量，则一定不平行.(5)非零向量的单位向量是土纟.解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若a,b方向相同，但只要丨：丨工“丨，则a^b.(5)真命题，任一非零向量：7的单位向量为土纟.例4如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又AB=DC.求证：CN=MA,证明：•:AB=~DCAIAB
11、=IDCI,且AB〃DC・从而，四边形ABCD是平行四边形.・・・AD〃BC,AD=BCTN、M分
12、别是AD、BC的中点.AAN=-AD,MC=-BC.22・•・AN=MC.又AN//MC,・•・四边形AMCN是平行四边形.于是得：AM〃NC,IAMI=INCI.又由图可知：C/V与MA的方向一致.:,CN=MA【基础知识精讲】1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示.亦表示从点A到B的向量（即A为起点，B为终点的向量），也可以用字母a、b、c…等表示.（印刷用黑体a、b、c,书写用2、b.:注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量）.2.向量的模所谓向量屈的大小，就是向量乔的长度（或称模），记作丨屈
13、丨或者丨：丨.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用6表示.0向量的方向是不定的,或者说任何方向都是0向量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4.平行向量、共线向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行•因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如忑与亦也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，
14、则向量亦与而是一组共线向量；向量乔与庞也是一组共线向量.5.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量7与向量乙
