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1、纳什均衡1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡表1.1S2S1LMRU4,35,16,2M2,18,43,6D3,09,62,8首先，找出S2的劣战略。对于S2，M策略严格劣于R策略，所以M为严格劣策略。删除后M再找出S1的劣战略，显然对于S1而言，M策略和D策略严格劣于U策略，所以M和D为严格劣策略。删除M与D后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡表1.2S2和S3S1X3Y3X2Y2X2Y2X10,0,06,5,44,6,
2、50,0,0Y15,4,60,0,00,0,00,0,0首先看S1选择X策略。如果S2同样选择X策略，那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。其次看S1选择Y策略。如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果S2选择Y
3、策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。所以该博弈式的纯战略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=｛A，B，C｝。得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。参与
4、人的支付函数如下：U1(A)=U2(B)=U3(C)=2U1(B)=U2(C)=U3(A)=1U1(C)=U2(A)=U3(B)=0求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。2和31A3B3C3A2B2C2A2B2C2A2B2C2A12,0,12,0,12,0,12,0,11,2,02,0,12,0,12,0,10,1,2B22,0,11,2,02,0,11,2,01,2,01,2,02,0,11,2,00,1,2C12,0,12,0,10,1,22,0,11,2
5、,00,1,20,1,20,1,20,1,2由上，若参与人1选择A策略。如果参与人2同样选择A策略，那么参与人3选择ABC策略1是无差异的，但均衡策略只能是参与人3选择A策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3选择AB策略是差异的，但均衡策略只能是其选择A，因此（A，B，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；同样，如果参与3选择C策略，参与人2也将选择C策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。若参与人1选择B策略。如果参与人2选择A策略
6、，那么参与人3将选择A或C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人2的最优策略是选择B，当其选择A策略时，参与人2将选择B策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3将选择ABC是无差异的，但其选择A和C都不满足纳什均衡，因此当其选择A和C时，参与人1将选择A或C，因此有当参与人3选择B策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人2选择C策略，参与人3也将选择C策略；但参与人3选择C策略时，参与人2将选择B策略，因此，这时不存在纳什均衡。若参与人1选择C策略。如果参与人2
7、选择A或B策略，那么参与人3将选择C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人1的最优策略是选择B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；因为这时的AB策略都不满足纳什均衡，因此，存在一个纳什均衡（C，C，C）。所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有5个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B，B，B）（C，C，C）。4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡表1.3S2S1LMRT7，22，73，6B2，77，24，5首先考虑纯纳什均衡。如果S1选择T战略→
8、S2将选择M战略→S1选择B战略→S2将选择L战略→S1选择T战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什均衡。因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M、R中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T策略的概率为α，S2选择L策略的概率为β，M策略的概率为γ，则可能有以下情况：（1）S2选择L、M和R的混合战略。对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：⎧2
