计算方法第二次上机作业

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1、计算方法第二次上机作业Gegebao摘要：程序基于MATLAB，包括问题陈述、算法与程序、结果与分析、讨论四个部分。一、问题陈述数学上已经证明了：0141+x2dx=π成立，所以可以通过积分来计算π的近似值。（1）分别使用矩形、梯形和Simpson复合求积公式计算π的近似值。选择不同的h，对于每种求积公式，试将误差刻画成h的函数，并比较各方面的精度。是否存在某个h值，当低于这个值之后，再继续减少h的值，计算不再有所改进？为什么？（2）实现Romberg求积方法，并重复上面的计算。（3）使用自适应求积方法重复上面的计算。二、算法与程序1．矩形求积法考虑到对于具体的某一个h，不一定能整数个地

2、覆盖积分空间，将会严重地影响算法精度。于是我们用n代替h，即将积分区间划分为n个区间，h=1/n。函数将输出积分结果Rec和这个结果对于精确的π的误差的对数值r。function[Recr]=rec(n)h=1/n;%求出对应的hRec=0;fori=1:nx0=h*(i-1/2);%求出每一区间的中心点的横坐标Rec=Rec+h*4/(1+x0^2);endr=log10(abs(Rec-pi));%取其误差的对数end2.梯形求积法和矩形法一样，采用n来标度取点密度。同样输出积分结果Lad和这个结果对于精确的π的误差的对数值r。function[Ladr]=lad(n)h=1/n;L

3、ad=0;fori=1:nx0=h*(i-1);x1=x0+h;取得每个区间的端点的横坐标Lad=Lad+h/2*(4/(1+x0^2)+4/(1+x1^2));endr=log10(abs(Lad-pi));end3.Simpson求积法输入取点数目n，h=1/n,输出积分结果Simp和这个结果对于精确的π的误差的对数值r。function[Simp,r]=simp(n)h=1/n;Simp=0;fori=1:nx0=h*(i-1);x1=x0+h/2;x2=x1+h/2;Simp=Simp+h/6*(4/(1+x0^2)+4*4/(1+x1^2)+4/(1+x2^2));endr=l

4、og10(abs(Simp-pi));end4.Romberg求积法输入最初取点数目n（h=1/n）和需求递推下去的步数k,输出积分结果Rom和这个结果对于精确的π的误差的对数值r。function[Rom,r]=rom(n,k)fori=1:k;[a(i,1)c]=lad(2^(i-1)*n);%调用lad函数，求出递推矩阵第一列的数值endfori=2:kforj=1:k-i+1a(j,i)=(a(j+1,i-1)-4^(1-i)*a(j,i-1))/(1-4^(1-i));endendRom=a(1,k);r=log10(abs(Rom-pi));end5.分别基于前几种算法的自适

5、应算法（1）基于矩形法输入初始的取点数n（h=1/n）和所需要的精度∈的对数值e，输出积分结果对于精确的π的误差的对数值r。function[r]=Arec(n,e)temp0=0;temp1=1;%temp0为T（h），Temp1为T（h/2）while(log10(abs(temp0-temp1))>e)temp0=temp1;n=n*2;temp1=rec(n);endr=log10(abs(temp1-pi));end（2）基于梯形法输入初始的取点数n（h=1/n）和所需要的精度∈的对数值efunction[r]=Alad(n,e)temp0=0;temp1=1;while(lo

6、g10(abs(temp0-temp1))>e)temp0=temp1;n=n*2;temp1=lad(n);endr=log10(abs(temp1-pi));end（3）基于Simpson法输入初始的取点数n（h=1/n）和所需要的精度∈的对数值efunction[r]=Asimp(n,e)temp0=0;temp1=1;while(log10(abs(temp0-temp1))>e)temp0=temp1;n=n*2;temp1=simp(n);endr=log10(abs(temp1-pi));end（4）基于Romberg法输入初始的取点数n（h=1/n）和所需要的精度∈的对数

7、值e，取递推步数k=5function[r]=Arom(n,e)temp0=0;temp1=1;while(log10(abs(temp0-temp1))>e)temp0=temp1;n=n*2;temp1=rom(n,5);endr=log10(abs(temp1-pi));end三、结果与分析使用之前的积分函数进行运算。考虑到h的变化范围比较大，将h等比例地从1取到10^(-7),取200个点。最后将h和误差按对数输出成图像。1