备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题76 由已知到未知的推理技巧与方法

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1、专题76由已知到未知的推理技巧与方法考纲要求:1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．　2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．基础知识回顾:一、合情推理1．归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．2．类比推理

2、(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提——已知的一般

3、原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用举例:类型一、归纳推理1、形的推理例1．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）11A.B.C.D.【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的

4、和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为，选D.2、式的推理例2．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为__________________.例3．观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<……照此规律，第五个不等式为__________．解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.3、数的推理例4．【

5、辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第二次模拟】对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：,仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为()A.43B.44C.45D.46【答案】C11故选类型二、类比推理例5．【江西省鹰潭市2017届高三第二次模拟考试】我们知道：“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知，则点集在空间中的轨迹描述正确的是（）A.以为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以为焦点的椭球体C.以

6、为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对【答案】C【解析】解：由特殊到特殊进行类比推理可得：点集在空间中的轨迹描述正确的是以为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面.本题选择C选项.图甲例6．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解析：如图甲所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.图乙又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.∴＝＋.11类比AB⊥AC，AD⊥B

7、C猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.如图乙，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．点评：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适

8、的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．类型三、演绎推理例7．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n