小学奥数——三角形的等积变形(附答案)

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1、小学奥数三角形的等积变形　　我们已经掌握了三角形面积的计算公式：　　三角形面积=底×高÷2　　这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形

2、状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．　　为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：　　①等底等高的两个三角形面积相等．　　②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．　　③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．　　同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．　　例如在右图中，△ABC与△DBC的

3、底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．　　例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．　　上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．　　方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、D

4、F．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．　 例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．　　方法1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4． 　　当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．　　证明：∵△ABC与△DBC等

5、底等高，　　∴S△ABC=S△DBC　　又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC　　S△DOC=S△DBC—S△BOC　　∴S△AOB=S△COD．例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．　　分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，　　把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行

6、的直线与CB的延长线交于A′点．　　解：①连结BD；　　②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．　　③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．　　解法1：连结BD，在△ABD中　　∵BE=3AE，　　∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．　　在△ABC中，∵CD=2AD，　　∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．　　解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，　　∵CD=2AD，　　∴S△ACE=3S△ADE=3（

7、平方厘米）．　　在△ABC中，∵BE=3AE　　∴S△ABC=4S△ACE　　=4×3=12（平方厘米）．例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=　　解：连结BG，在△ABG中，　　　　　　　∴S△ADG+S△BDE+S△CFG　　　　　　　例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．　　解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；　　∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．例8如右图，四边形

8、ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH