数值计算与最优化复习3答案

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1、数值计算与最优化复习题课程名称：数值计算与最优化;课程编码：08582题号―•二三四总分备注应得分1.计算题允许带没有编稈和存储功能的计算器；2.计算题是8选5,凡是选择的做的题目，在题号上加上*。凡没有加*号的计算题，不予评阅。凡超出5题的，选择得分最低的5题。实得分评卷人—・填空(1)测量圆的直径，结果为10±0.1mm,则圆的面积为7854.0土15.7(结果保留5位有效数字)，圆的周长为(结果保留4位有效数字)o(2)f(x)=x3,已知f(l)=l,f(1.2)=1.728,f(1.5)=3.375.则用线性插值计算f(1.3)=(结果

2、保留3位有效数字)，用二次插值计算f(l.3)=2.20.(结果保留3位有效数字)o(3)在［0,1］区间给出f(x)二"的等距节点函数表，步长h二0.02,按线性插值计算f(x)的值。则计算结果的截断误差为(结果保留3位有效数字)，如果需要结果具有6位有效数字，则步长h应该为0.002(结果保留3位有效数字)。I•1(4)计算积分I=^dx=f^dx,且定义f(0)=lo则用梯形公式的结果0x0为：0・921(结果保留3位有效数字)，用Simpson公式结果为0.946(结果保留3位有效数字)o(5)Newton迭代法求非线性方程%2=3的

3、根，则迭代格式为x“+产(xj+3)/(2xJ,并且具有阶收敛。(6)解n阶线性方程组的Gauss消去法，消去过程需要n(n+l)(2n+l)/6次乘除法，回带过程需要次乘除法。(7)“(3,0,—4,12)卩，则卜IL=—10，倒2=—V30,(6)如果矩阵A的特征值分别为(1,4,3),则(A+2I)7的特征值分别为(1/3,1/6,1/5)-⑼在解线性方程组的迭代法中，迭代格式X二MX+F收敛的条件为p(m)〈1o(10)数值方法解常微分方程的梯形公式的局部截断误差为0(h‘)，整体误差为o(计算步长为h,给出误差的阶)(11)线性规划问题

4、的自由变量X,可用变换消去。不等式约束+jXj",可引入,得到等号约冃束—T.auxJ+X=®。7=1(12)MATLAB的变量可以用来储存_数组和—矩阵。二.判断(1)如果系数矩阵是严格对角占优的，则解线性方程组的Jocobi迭代一定是收的。(J)(2)线性规划问题的所有可行解的集合是凸集(V)(3)将求L近似值的Simpson公式进行龙贝格加速，则得到n=4的牛顿一柯特的求积公式。(V)(4)对于“阶的Newton-Cotes求积公式，当N为奇数时，其代数精度可以达到N+lo(x)三.计算题(1)设方程12-3x+2cosx=0,说明方程有惟

5、一根。试用适当的迭代法求该方程的实根(精确至3位有效数)，写岀求方程的根的近似值的全部过程。解：令f(x)=12-3x+2cosx,f‘(x)二3-2sinx工0,故有唯一根。迭代公式：Xn+i=arcos(1.5xn-l)5Kxn+i=4+2/3cosx1aa(2)设a1a,求解方程组AX二B,证明aa1当一-

6、-LA二-a0-a-a-a0入I-B二(入-a)(入2+aX~2a2)-0要使迭代收敛，

7、入i

8、G,-1/2

9、对于G-S迭代:x(k+1)=(I-L)_1Ux(k)+(I-L)_1F0-a-a(l-L)1U二0a2a2-a0-a3+a2-a3+2a2入I_(I_L)U-\_a2)(X~2a2+a3)-0要使迭代收敛，丨入i

10、C(3)用下列方法计算积分(10分)1•三点的Gauss-Legendre求积公式解:=\^dt=A1F(X1)+A2F(X2)+A3F(X3)二5/9x1/(2-7

11、)+8/9x1/(2+0)+5/9x1/(2+点)二1.12.八点的复合梯形公式解：h二（3-1）/8二1/41=C^-dx兀二h/2(f1+2f2+2f3+2f4

12、+2f5+2f6+2f7+2f8+f9)=1/8(1+8/5+8/6+8/7+8/8+8/94-8/10+8/11+4/12)二1.1025(4)用四阶Rung-Kutta数值方法解如下的常微分方程：y'=3y/(l+x),初值为y(0)=1。步长选为0.2,计算［0,1］区间的数值解。解：f(x,y)=3y/(l+x)y(0)=lh=0.2Kl=f(x0,y0)=3/(l+0)=3K2二f(x0+h/2,y0+hkl/2)=f(0」,1.3)=3*1.3/1.1=3.54545K3二f(x0+h/2,y0+hk2/2)=f(0.1,1.3545

13、45)=3*1.354545/1.1=3.6942K4二f(x0+h,y0+hk3)=f(0.2,0.73884)=3*0.73884/