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1、分期付款购房策略模型卞继承裴萍(新疆工业高等专科学校基础部新疆乌鲁木齐830091)摘要:现今社会,工薪阶层的人士可通过银行贷款的方式买房。在市场经济的信息时代,面对不同的经营决策方案,正确的决策意味着经济资源的最优配置。关键词:分期付款贷款额利率贷款期限还款额复利离散变量1・问题的分析及简化:问题1:王女士自备款10万首付,其余进行银行贷款,有如下四种方案可供选择:方案1.1:贷款期限:0一次性付款:22万方案1.2:贷款期限:5年单位时间(月)还款额:2400Y单位时间(月)利率:0.01贷款额:?方案1.
2、3:贷款期限:15年月还款额:?单位时间(月)利率:0.01贷款额:12万方案1.4:贷款期限:25年月还款额:?单位时间(月)利率:0.01贷款额:12万问题2:将欠款额A(t)关于时间t的输入输出模型连续化,即时间离散变量连续化。问题3:单位时间利率R与月利率r=0.01如何转化?2.模型假设:1.银行在贷款期限内利率不变;2.不考虑物价变化及货币贬值等经济波动的影响;3.利率转化函数合理性及实用性已经实践检验;4.银行利息按攵利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化;3.模型建立及求解:3.1:确定
3、变量:银行贷款额:银行欠款额:A(t)(单位时间)银行利率:R(单位时间)付款额:a3.2:问题3的分析:为了简化模型结构,特作如下约定(定义):定义3.2.1:单位时间利率关于时间成线性(反比)关系;定义3.2.1:单位时间还款额关于时间成线性(反比)关系;3.3:问题2的分析:经推导验证,贷款的输入输出模型可用定理3.3.1的公式:TH3.3.1:A(t)=A0(l+R)1・a[(l+R)‘・1]/R(用数学归纳法证明)证明:分析银行贷款规则可知:变量之间应满足递推关系式如下:A(t)=A(t-l)(l+R
4、)-a(1)显然A(0)=Ao,A(l)=A0(l+R)-a成立;假设当t=k时,A(k)=A0(l+R)k-a[(l+R)k-l]/R成立;则当t=k+l时,即第k+1个单位时间后银行欠款额,由递推关系式(1)得:A(k+1)=A(k)(l+R)-a={A0(l+R)k-a[(l+R)k-l]/R}(l+R)-a=A0(l+R)k+,・班(1+1<)日・(1+R)]/R・a=A0(l+R)k+,・a
5、(l+R)k+,・1]/RA(k+1)符合假设所给形式,即证。3.4问题1的分析:贷款方案的决策:方案1.1:
6、t=0,A=22万.方案1.2:由定理3.3.1得,A°(l+R)‘=A(t)+a[(l+R),・1
7、/RA(12x5)=A(60)=0=>A()=a[l-(l+R)_,]/R将R=r=0.01,a=2400代入得Ao=2400[1・(l+O.Ol)60]/0.01=107892.09¥即如果一次付款应付A=100000+AO=207892.09¥显然22>207892.09,方案1.2优于方案1.1,王女士应考虑方案1.2但是方案1.2月供较大,生活压力不言而语。方案1.3:t=15x12=180,月利率r=
8、0.01,Ao=12Jj则A(180)=A0(l+r),80-a[(l+r),80-l]/r=0即:a=[A0(l+r)180•r]/[(l+r)180-l]=1440.2017方案1.4:t=25x12=300,月利率r=0.01,A{)=12万则A(300)=A0(l+r)3(x)-a[(H-1*)'00・l]/r=O即:a=[A0(l+r)300•r]/
9、(l+r)300-1]=1263.869比较方案1.3和方案1.4:1)方案1.4贷款期25年明显长于方案1.3贷款期15年;2)王女士实际所付金额:方
10、案1.3:A=100000+1440.2017x180=359236.31方案1.4:A=100000+1263.869x300=479160.7显然方案1.4比方案1.3实付款多,贷款期长,故王女士应考虑15年的借贷方案.3.5问题2的求解:3.5.1银行欠款离散模型:欠款额关于离散变量(时间)的贷款模型,可根据假设及3.2的分析,将一个月分为m个相等的时间区域,则每个时间区域中还款x=a/m,每个区I'可的利率为R=r/m,贷款期限为t个月,假设存在t*,使A(t*)=0;由Th3.3.1.A(t)=0;A
11、(mt)=A()(1+r/m),nl-(a/m)[(l+r/m)w/-1]/(r/m)=A0(l+r/m)mt-(a/r)[(l+r/m)wz-1]则A(mt*)二0=>mt*=logf(l+r/m),a/(a-Aor)].⑵3.5.2银行欠款连续模型:在银行欠款离散模型中,再让mT+oo,即得连续银行欠全款模型:11lim(A(mt)=Aolim(l+r/m)ml-a{lim[(l+