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1、分期付款购房策略模型卞继承裴萍（新疆工业高等专科学校基础部新疆乌鲁木齐830091）摘要：现今社会，工薪阶层的人士可通过银行贷款的方式买房。在市场经济的信息时代,面对不同的经营决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。关键词：分期付款贷款额利率贷款期限还款额复利离散变量1・问题的分析及简化：问题1：王女士自备款10万首付，其余进行银行贷款，有如下四种方案可供选择：方案1.1:贷款期限：0一次性付款：22万方案1.2：贷款期限：5年单位时间（月）还款额：2400Y单位时间（月）利率:0.01贷款额：？方案1.
2、3:贷款期限：15年月还款额：？单位时间（月）利率：0.01贷款额：12万方案1.4:贷款期限：25年月还款额：？单位时间（月）利率:0.01贷款额：12万问题2：将欠款额A（t）关于时间t的输入输出模型连续化，即时间离散变量连续化。问题3：单位时间利率R与月利率r=0.01如何转化？2.模型假设：1.银行在贷款期限内利率不变；2.不考虑物价变化及货币贬值等经济波动的影响；3.利率转化函数合理性及实用性已经实践检验；4.银行利息按攵利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化；3.模型建立及求解：3.1:确定
3、变量：银行贷款额:银行欠款额：A（t）（单位时间）银行利率:R（单位时间）付款额：a3.2:问题3的分析:为了简化模型结构，特作如下约定（定义）：定义3.2.1:单位时间利率关于时间成线性（反比）关系；定义3.2.1:单位时间还款额关于时间成线性（反比）关系;3.3:问题2的分析:经推导验证，贷款的输入输出模型可用定理3.3.1的公式:TH3.3.1:A(t)=A0(l+R)1・a[(l+R)‘・1]/R(用数学归纳法证明)证明：分析银行贷款规则可知：变量之间应满足递推关系式如下：A(t)=A(t-l)(l+R
4、)-a(1)显然A(0)=Ao,A(l)=A0(l+R)-a成立；假设当t=k时，A(k)=A0(l+R)k-a[(l+R)k-l]/R成立；则当t=k+l时，即第k+1个单位时间后银行欠款额，由递推关系式(1)得：A(k+1)=A(k)(l+R)-a={A0(l+R)k-a[(l+R)k-l]/R}(l+R)-a=A0(l+R)k+,・班(1+1<)日・(1+R)]/R・a=A0(l+R)k+,・a
5、(l+R)k+,・1]/RA(k+1)符合假设所给形式，即证。3.4问题1的分析：贷款方案的决策：方案1.1:
6、t=0,A=22万.方案1.2：由定理3.3.1得，A°(l+R)‘=A(t)+a[(l+R)，・1
7、/RA(12x5)=A(60)=0=>A()=a[l-(l+R)_,]/R将R=r=0.01,a=2400代入得Ao=2400[1・(l+O.Ol)60]/0.01=107892.09¥即如果一次付款应付A=100000+AO=207892.09¥显然22>207892.09,方案1.2优于方案1.1,王女士应考虑方案1.2但是方案1.2月供较大，生活压力不言而语。方案1.3:t=15x12=180,月利率r=
8、0.01,Ao=12Jj则A(180)=A0(l+r),80-a[(l+r),80-l]/r=0即：a=[A0(l+r)180•r]/[(l+r)180-l]=1440.2017方案1.4:t=25x12=300,月利率r=0.01,A{)=12万则A(300)=A0(l+r)3(x)-a[(H-1*)'00・l]/r=O即：a=[A0(l+r)300•r]/
9、(l+r)300-1]=1263.869比较方案1.3和方案1.4:1)方案1.4贷款期25年明显长于方案1.3贷款期15年；2)王女士实际所付金额:方
10、案1.3:A=100000+1440.2017x180=359236.31方案1.4：A=100000+1263.869x300=479160.7显然方案1.4比方案1.3实付款多，贷款期长，故王女士应考虑15年的借贷方案.3.5问题2的求解：3.5.1银行欠款离散模型：欠款额关于离散变量(时间)的贷款模型,可根据假设及3.2的分析，将一个月分为m个相等的时间区域，则每个时间区域中还款x=a/m，每个区I'可的利率为R=r/m,贷款期限为t个月，假设存在t*,使A(t*)=0;由Th3.3.1.A(t)=0;A
11、(mt)=A()(1+r/m),nl-(a/m)[(l+r/m)w/-1]/(r/m)=A0(l+r/m)mt-(a/r)[(l+r/m)wz-1]则A(mt*)二0=>mt*=logf(l+r/m),a/(a-Aor)].⑵3.5.2银行欠款连续模型：在银行欠款离散模型中，再让mT+oo,即得连续银行欠全款模型：11lim(A(mt)=Aolim(l+r/m)ml-a{lim[(l+
