cordic 理论分析

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1、CORDIC理论分析1.1、坐标旋转数字计算机CORDIC坐标旋转数字计算机CORDIC(COordinateRotationDIgitalComputer)算法，通过移位和加减运算，能递归计算常用函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数，由J.Volder于1959年提出，首先用于导航系统，使得矢量的旋转和定向运算不需要做查三角函数表、乘法、开方及反三角函数等复杂运算。J.Walther在1974年用它研究了一种能计算出多种超越函数的统一算法。1.2、CORDIC原理如图所示，初始向量(X(0)，Y(0))旋转θ角度之后得到

2、向量(X1，Y1)，此向量有如下关系：X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ)=cos(θ)(X0-Y0*tan(θ))Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)=cos(θ)(Y0+X0*tan(θ))假设初始向量经过N次旋转之后得到新向量，且每次旋转角度δ都是正切值为2的倍数，则第i次旋转角度为δ-arctan(2^(-i))，即cosδ=(1/(1+2^(-2i)))^0.5。容易得到角度θ≈∑S(i)●δ(i)，其中S(i)=1或-1，表示旋转角度的方向，第i步旋转可以表示为：X(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))

3、^0.5)●(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i))Y(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i))其中(1/(1+2^(-2i)))^0.5)称为校模因子，当旋转次数一定时，趋于一个常数，Π(1/(1+2^(-2i)))^0.5)≈0.6073这样，算法每一步就可以简化为：X(i+1)=(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i))Y(i+1)=(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i))从而可以看出，对于移动的角度θ，现在只需要硬件加减法器和移位器就可以算出结果。引入Z，表示i次旋转后

4、相位累加的部分和，则：Z(i+1)=Z(i)-S(i)arctan(2^(-i))经过n次旋转之后，Z→0，即与目标角重合，即：X(n)=X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ)Y(n)=Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)1.3、三角函数的计算以sin/cos计算为例，可利用正/余弦的和角公式递归进行：cos(a+b)=cos(a)cos(b)–sin(a)sin(b)=cos(a)[cos(b)–tan(a)sin(b)]sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)=cos(a)[tan(a)co

5、s(b)+sin(b)]取a=arctan(2^-k),即tan(a)=2^-k,则cos(b)–tan(a)sin(b)可通过移位和减法来实现。如果角度z可以表示为z=s0arctan(2^0)+s1arctan(2^-1)+...+snarctan(2^-n),其中s0,s1,...,sn取+1或-1(+1可以理解为逆时针转角，即加上一个角度;-1则相反)，那么角度z的sin/cos计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。注意到cos(skarctan(2^-k))=cos(arctan(2^-k))与转角方向无关。此外，z应取第

6、一项限角度(收敛域)，对於其他项限角度，可由其第一项限对应角度变换得到。相类似地，sinh/cosh的计算利用以下公式：cosh(a+b)=cosh(a)cosh(b)+sinh(a)sinh(b)=cosh(a)[cosh(b)+tanh(a)sinh(b)]sinh(a+b)=sinh(a)cosh(b)+cosh(a)sinh(b)=cosh(a)[tanh(a)cosh(b)+sinh(b)]取a=arctanh(2^-k),即tanh(a)=2^-k,则cosh(b)+tanh(a)sinh(b)可通过移位和减法来实现。如果参

7、数z可以表示为z=s1arctanh(2^-1)+s2arctanh(2^-2)+...+snarctanh(2^-n),其中s1,s2,...,sn取+1或-1，那么z的sinh/cosh计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。z应取[-ln2,ln2]范围内的值，否则应先预处理z=z’–pln2,求得cosh(z’)/sinh(z’)的值，则cosh(z)=cosh(z’)cosh(pln2)+sinh(z’)sinh(pln2)=½[cosh(z’)+sinh(z’)]2^p+½[cosh(z’)–sinh(z’)]2^-psi

8、nh(z)=sinh(z’)cosh(pln2)+cosh(z’)sinh(pln2)=½[cosh(z’)+sinh(z’)]2^p+½[sinh(z’)–cosh(z’)]2^-p。sin/cos和si