1高等数学典型例题与应用实例(重积分b部分)(1-3)

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1、例利用二重积分的性质，估计积分的值，其中为半圆形区域．解我们先求函数在区域上的最大值和最小值．由解得内驻点为，．在边界上，在上的最大值为，最小值为．在边界上，由得驻点，．．综上，在上的最大值为，最小值为．又的面积为，所以由二重积分的估值性质知，即．例设为xoy平面上以为顶点的三角形区域，为在第一象限的部分，则．（A）（B）（C）（D）解区域D如图所示，并记为以为顶点的三角形区域，则关于轴对称，且为在轴右侧的部分区域，区域关于轴对称．又关于和均为奇函数；而关于为偶函数．关于为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得，故；，故．所以．因此我们选（A）．例设区域，为上的

2、正值连续函数，为常数，则．解由题意知，关于直线对称，由二重积分轮换对称性得．因此，我们应填“．”例计算二次积分解积分区域如图，则原式；例设为椭圆区域，计算二重积分．解令则的极坐标表示为，且．由式，可得．例计算二重积分，其中D为解解法1D的边界曲线为这是一个以为圆心，为半径的圆域，采用一般的变量代换，令即作变换于是D变为所以，（再用极坐标）解法2由于积分区域D：关于（即对称，故类似地，由于D关于对称，故从而例计算，其中，解D由分为D2，D2两部分，如图.例利用二重积分计算定积分解因为所以例上的连续函数，且，试利用二重积分证明证因为其中亦即例计算，其中解当从而

3、图，其中D曲线，和所围成，如图10-8。改变积分顺序，则例设二元函数，计算，其中解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性、有其中，D1为D位于第一象限部分，D1由分成两部分：图因为所以例求解设平面区域D：则二元函数在D上连续，二重积分存在，用平行于x轴和y轴的两组平行线把D分成n2个全等的正方形，如图，取则故图例设有一阶导数且求。解采用极坐标，令于是原式=例设半径为R的球面Σ的球心的定球面上，问当R取什么值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大。解根据题意不妨设球面Σ的方程为，则两球面的交线在xOy面投影记Σ1为Σ在定球面的部分，则Σ1在xOy面投影区域D为

4、.Σ1的方程，则Σ1的面积图S为R的函数，下面求S的最大值。令，得驻点（舍去）。又因此为极大值，即为最大值，故当时，球面Σ在定球面内的部分的面积最大。例设薄片所点区域D是介于两个圆之间的区域，各点处的面密度等于该点到原点的距离，求这薄片的质心。解区域D如图所示，由对称性知薄片的质量所以，所以薄片的质心坐标例求由抛物线及直线所围成的薄片（面密度为常数对于直线的惯性矩。解设D为平面薄片所占据的xOy平面上的区域如图，D内任一点（x,y）到直线y=-1的距离平方d2=(y+1)2,故所求惯性矩为例计算，其中是由曲面与平面z=2所围成的区域。解从中消去z，得投影柱

5、面方程，在xOy平面上的投影区域D为：。采用柱面坐标，可表示为：从而计算，其中解：由于将x与z对换，积分区域和被积函数不变，故原积分=2，积分区域为球面围成，采用球面坐标，令图从而，原积分=例计算，其中是和的公共部分（a>0）。解法一用球面坐标，根据积分区域特点，必须分成两部分1和2，由及得，则锥面把分成1和2两部分.解法二由于被积函数与x,y无关，且积分区域中作平行xOy坐标面向的平面与交线是圆，于是可用先作二重积分再作一定积分（先二后一）法，因为两球面的交线落在平面上，故当时，为半径为的圆域；当时，为半径为的圆域，因此，例计算三重积分，其中是由抛物面与

6、球面所围成的公共区域。解被积函数，由于积分区域关于xOz坐标面对称xy+yz是关于y的奇函数，所以类似地，由于关于yOz坐标面对称，xz是关于z的奇函数，所以于是采用柱面坐标，令，则所以例，其中是由与z=1所围成的立体。解令，得球面需将分成两部分、，其中而例设为连续函数，求解因为在上连续，根据三重积分的中值定理，至少存在一点，使得注意，当由的连续性，于是有例设函数具有连续导数，且，求其中为球域：.解引入球面坐标变换：则，因为时，所以由洛必达法则，原式=例由曲面和围成的立体，其密度为，求绕直线旋转的转动惯量。解先求出立体内任一点到直线的距离的平方的方向向量，

7、且所以故由对称性知图利用柱面坐标，例设函数连续且恒大于零，，其中，，证明：在内单调增加.解因为，（）故在内单调增加.例设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例系数），求球体的质心位置.解设球心为，以球心为坐标原点，射线为正轴建立坐标系，则点的坐标为，球面方程为设球体的质心位置，由对称性，得，，，而（由轮换对称性）故，球体的质心位置.