2014年高中数学联赛四川预赛试题

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1、2014年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月18日下午14：30——16：30）三题目一二总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.3、计算器、通讯工具不准带入考场.4、解题书写不要超过密封线.得分评卷人一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）z1、已知ab,∈R,复数zai=+4，且=4i，则b=【】zb+A、−16B、1C、16D、172、过椭圆的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与该椭圆交于A、B两点，若

2、

3、2BF=

4、

5、AF，则该椭

6、圆的离心率是【】1212A、B、C、D、33223、已知公差为d的等差数列{}a满足：d>0，且a是aa,的等比中项；n214*111记bann=∈n()N,对任何正整数n，都有+++

7、【】A、323B、543C、643D、7232014年全国高中数学联赛(四川初赛)第1页(共4页)a3b26、已知abcd,,,均为实数，函数f(x)=x+x+cx+d(a<0)有两个极值点322x,x（x

8、字作答）8、若二面角α−l−β大小为60°，点P到平面α的距离为3，到平面β的距离为5，若A∈α，B∈β，则△PAB周长的最小值是．9、已知ab,为实数，对任何满足01≤x≤的实数x，都有

9、

10、axb+≤1成立，则

11、20abab++−14

12、

13、2014

14、的最大值是．77k10、设(12)−=x∑axk，则234567aaaaaa234567+++++的值是．k=011、已知向量α、β是平面内两个互相垂直的单位向量，且(3α−γβγ)(4⋅−=)0，则

15、

16、γ的最大值是．12、对任意正整数n，定义Z(n)为满足“12+++?m是n的倍数的最小的正整数m”

17、．则满足Z(n)=6的全部正整数n的和等于．得分评卷人三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）1−x13、已知a为常数，函数f()ln(xa=)−x．1+x8（1）求函数f()x的单调递减区间；（2）若a=−，求f()x的极值．32014年全国高中数学联赛(四川初赛)第2页(共4页)22214、已知不等式3sinx−cosx+4acosx+a≤31对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．215、已知k为给定正整数，数列{}a满足a=3，aS=−+∈(321k−1)3(nN*)，n1nn+12k1*3其中Sn是{}an的前n项和．令b

18、ann=∈log(312a?a)(nN),记Tbki=∑

19、

20、−．ni=12*若T∈N,求k的所有可能值．k2014年全国高中数学联赛(四川初赛)第3页(共4页)22xy16、过椭圆+=1的右焦点F作两条垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为32M、N．（1）求证：直线MN必过定点，并求出这个定点；（2）若弦AB、CD的斜率均存在，求△FMN的面积的最大值．2014年全国高中数学联赛(四川初赛)第4页(共4页)