2011年高中数学联赛四川预赛试题及答案

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1、2011年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月15日下午14：30——16：30）题目一二三总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.3、计算器、通讯工具不准带入考场.4、解题书写不要超过密封线.本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.一、

2、选择题（本题满分30分，每小题5分）得分评卷人1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于A、B、C、D、【答】()2、已知三次函数，),命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点．则是的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答】()3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期

3、望的值为（）A、B、C、D、1【答】()4、函数的最大值为（）2011年全国高中数学联赛(四川初赛)第7页(共7页)A、B、3C、D、【答】()5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是A、B、C、D、【答】()6、设数列为等差数列，数列满足：，，，……，若，则数列的公差为（）A、B、1C、2D、4【答】()二、填空题（本题满分30分，每小题5分）得分本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.评卷人7、已知实数满足，则

4、的取值范围是．8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为．9、记实数等比数列的前项和为，若，则．10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，．关于实数的方程的全部实根之和等于．11、已知，其中为整数，则．12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．三、解答题（本题满分80分，每小题20分）得分评卷人13、已知，若函数的最大值为，求的最小值．2011

5、年全国高中数学联赛(四川初赛)第7页(共7页)得分评卷人14、已知函数在有最大值5，求实数的值．得分评卷人15、抛物线与过点的直线交于、两点．（I）求直线的斜率的取值范围；(II)求在线段上满足条件的点的轨迹方程．得分评卷人16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立．求证：当取到最大值时，对任何正整数都有．2011年全国高中数学联赛(四川初赛)第7页(共7页)2011年高中数学联赛四川区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它

6、各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)1、B2、A3、C4、C5、B6、D二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7、8、19、15010、11、12、三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值．解：令，则，（5分）∴，∴当时，有最大值，即．（10分

7、）∴，（15分）等号当且仅当时成立，∴当时，有最小值10．（20分）14、已知函数在有最大值5，求实数的值．解：（5分）2011年全国高中数学联赛(四川初赛)第7页(共7页)令，则，从而（10分）令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件；（15分）当时，，矛盾！当时，，矛盾！综上所述，所求的实数．（20分）15、抛物线与过点的直线交于、两点．（I）求直线的斜率的取值范围；(II)求在线段上满足条件的点的轨迹方程．解：（I）直线的方程为，与抛物线方程联立得，消去得，即，由，解得或．（5分）（I

8、I）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，，又、、都在直线上，所以有，，，由得化简得（10分）又，点在线段上，所以同号．则2011年全国高中数学联赛(四川初赛)第7页(共7页)因此①，②，由①得代入②得,即，（15分）又因为或，所以的取值范围是且，因此点的轨迹方程是（且）．（20分）16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立．求证：当取到最大值时，对任何正整数都有．证明：当时，由