1993年全国初中数学联合竞赛试题及解答

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1、1993年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了A、B、C、D四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．12621．多项式xx1除以x1的余式是（）A．1B．1C．x1D．x12．对于命题Ⅰ．内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ．内角相等的圆内接四边形是正四边形.以下四个结论中正确的是（）A．Ⅰ，Ⅱ都对B．Ⅰ对，Ⅱ错C．Ⅰ错，Ⅱ对D．Ⅰ，Ⅱ都错3．设x是实数，y

2、x1

3、

4、x1

5、．下列四个结论：Ⅰ．y没有最小值；Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；Ⅲ．有有限多个x（不止一个）使y取到最

6、大值；Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳxxxa，1231xxxa，23424．实数x，x，x，x，x满足方程组xxxa，其中a，a，a，a，a是12345345312345xxxa，4514xxxa.5125实常数，且aaaaa，则x，x，x，x，x的大小顺序是（）1234512345A．xxxxB．xxxxx124542135C．xxxxxD．xxxxx314255314225．不等式x1(x1)3x7的整数解的个解（）A．等

7、于4B．小于4C．大于5D．等于516．在△ABC中，A是钝角，O是垂心，AOBC，则cos(OBCOCB)的值是（）2231A．B．C．D．22227．锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么mnp::等于（）111A．::B．abc::abcC．cos:cos:cosABCD．sin:sin:sinABC14218．33333可以化简成（）999333333A．321B．321C．21D．21二、填空题23xx651．当x变化时，分式的最小值是___________

8、_．12xx122．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有_______个小球．223．若方程(x1)(x1)k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k_______．4．锐角三角形ABC中，ABC中，A30．以BC边为直径作圆，与AB，AC分别交于D，E，连接DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分别为S，S，则SS:__________．1212第二试一、设H是等腰三角形ABC垂心，在底边BC保持不变的情况下让

9、顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积SS的值变小、变大，还是不变？证明你的结论．△ABC△HBC2二、△ABC中，BC5，AC12，AB13，在边AB，AC上分别取点D，E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分．试求这样的线段DE的最小长度．22三、已知方程xbxc0及xcxb0分别各有两个整数根x，x，及x，x，且1212xx0，xx0．1212（1）求证：x0，x0，x0，x0．1212（2）求证：b11≤c≤b；（3）求b，c所有可能的值．31993年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题1．A12

10、6666242【解析】xx1xx(1)1xx(1)(xx1)1∴所以余式为1．2．B【解析】命题Ⅰ正确，证明如下：如左图，ABCDE为圆内接五边形，各内角相等，由AB，知BCECEA于是BCEA，同理可证BCDEABCDEA，故ABCDE是正五边形．命题Ⅱ不正确，反例如下：如右图，ABCD为圆内接矩形ABCD90，ABCD，BCDA，但ABBC，显然，ABCD满足命题Ⅱ条件，但不是正四边形．3．D【解析】因为

11、x1

12、，

13、x1

14、分别表示数轴上的点x到点和点1的距离，因此，当11≤x≤时，y

15、

16、x1

17、

18、x1

19、2；当x1时，y

20、x1

21、

22、x1

23、22

24、x1

25、2；x1时，y

26、x1

27、

28、x1

29、22

30、x1

31、2．而在1与1之间有无穷个实数x，故有无穷多个x使y取到最小值．4．C【解析】给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得xxaa，xxaa，xxaa，xxaa．1412252331344245∵aaaaa，12345∴xx，xx，xx，xx，14253142于是有xxxxx．3142545．A(xx2)(1)02【解析】注意到x1(x1)3x7

32、1x12或x6，