全国初中数学竞赛考试及解答

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1、2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为【】A、B、C、2D、32．已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为【】矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A、0B、1C、2D、33．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于【】A、B、C、D、4．设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值【】聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A、大于0B、等于0C

2、、不大于0D、小于05．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是【】残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A、＜a＜B、a＞C、a＜D、＜a＜06．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【】A、B、C、D、a＋b二、填空题7．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。8．已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为。9．

3、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。10．如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为cm2。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。11．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有个。12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为。厦礴恳

4、蹒骈時盡继價骚。三、解答题13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？茕桢广鳓鯡选块网羈泪。14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证：鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。15．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2

5、b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2002年全国初中数学竞赛试题答案一、选择题（每小题5分，共30分）1、A.由题意:>0，且===3。2、原式=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=[1+1+4]=3。3、设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点，所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则,得2x+2y=.所以S四边形AGCD=.从而S四边形AG

6、CD∶S矩形ABCD=2∶3.4、由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-3>0,所以x、y、z中至少有一个大于0.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。5、由题知:(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0,代入韦达定理并整理得<0,可知选(A).渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。6、延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。一、填空题（每小题5分，共30分）

7、7、由Δ=(a-2)2+4>0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤-.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。8、由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0,(b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)=-2<0.而a0.所以原式=b-a.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。9、易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以=,得PB=410、设⊙O3的半径为x,则O1O3=+x，O1O=,O3O=-x.

8、所以(+x)2=()2+（-x）2,解得x=,易得菱形O1O3O2O4的面积为a2.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。11、由题设得n2-n-1=±