专题30 数列的综合问题-2019年高三数学（理）二轮必刷题（解析版）

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1、专题30数列的综合问题1．某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长，同时，该产品第1个月的维护费支出为万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）【答案】（1）收入约为303.75万元，维护费为350万元（2）第10月2．若或，则称为和的一个位排列，对于，将排列记为，将排列记为，依此类推，直

2、至，对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做和的相关值，记作，例如，则，，若，则称为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列．（Ⅱ）证明：不存在最佳排列．（Ⅲ）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．【答案】详见解析以上各式求和得，，另一方面，还可以这样求和：设，，中有个，个，则，所以，得或，[来源:学&科&网Z&X&X&K]所以排列中的个数是或个．3．设数列的前n项和为，已知，（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：，．①求数列的通项公式；[来源:学科网]②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（

3、1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．学科&网4．已知函数，.（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（2）若数列满足：，，证明：.【答案】（1）；（2）见解析5．已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn

4、，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对"n≥2,n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（1）（2）6．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达

5、到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【解析】（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.学科&网7．已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.8．科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨,否则将采取紧急限排措施.已

6、知市年的碳排放总量为万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量万吨.（1）求市年的碳排放总量(用含的式子表示）；（2）若市永远不需要采取紧急限排措施,求的取值范围.【答案】(1)(2)（3）【解析】9．已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1）．[来源:学+科+网]（1）；10．已知集合且，设．若2，3，4，5，和2，3，4，5，，分别求S的值；若集合A中所有

7、元素之和为55，求S的最小值；若集合A中所有元素之和为103，求S的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】2，3，4，5，，可得；2，3，4，5，，可得；集合A中所有元素之和为55，由，11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．(1)已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？(2)假设货主每月还商店元，