李胜红探讨转化思想在高中数学解题中的应用

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1、.探讨转化思想在高中数学解题中的应用李胜红河北省大城县第一中学【摘要】“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一，在中学数学学习中占有很重要的地位。数学学习中的转化思想,就是要把新的知识转化成已经学过的知识,把较为复杂的知识转化为简单的知识,从而解决问题的方法。本文对高中数学各部分知识中的转化思想的应用进行初步的探讨，强化转化思想在高中数学解题中的应用。【关键词】高中数学：转化思想；应用；数学思想方法。【正文】数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁

2、移并广泛应用于相关学科和社会生活中。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法，其中“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一。数学学习中的转化思想,就是要把新的知识转化成已经学过的知识,把较为复杂的知识转化为简单的知识,从而解决问题的方法。转化思想的本质特征是知识和方法的迁移，转化思想可以减化运算、开拓思路，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。新课标下高中数学衔接上呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点,学生学习不适应现象突

3、出,困难重重,师生更应该强化数学思想方法,重视思想方法的教学与应用，只有从思想方法入手，才能教会学生如何学习数学。下面就转化思想在圆、椭圆、立体几何、导数、三角函数五部分知识中的应用进行初步的探讨，以提高学生解题的水平和能力。一、圆中的转化思想例1．圆,圆过圆C2上任意一点作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，设PM与PN夹角的最大值为，则（）A.B.C.D.解析：设因为所以越小，PM与PN的夹角越大,将问题转化为求点C1（3，0）与圆C2上任意一点P的最小距离。...例2．已知动点P（x，y）

4、在椭圆上，若A点坐标（3,0），求。解析：由勾股定理可知，只需求圆心（3，0）到椭圆上点的距离的最小值。[评析]在直线与圆的位置关系中，点到直线距离、勾股定理是同学们所熟知的公式，但学生对题目中出现的两切线的夹角问题、切线长问题却不熟悉，通过转化思想将求夹角最大值问题转化为求两点间距离最小问题，将求切线长问题转化为求圆心到椭圆上点的距离最小问题。二、圆锥曲线中的转化思想例3．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若则p=解析：过A,B,F分别向准线做垂线,根据抛物线定义，。根据

5、三角形相似，解得p=4。例4．已知动点P（x，y）在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，点A（1,1）在椭圆内部，求的最大值和最小值。解析：根据椭圆定义，可得，转化为求的最值问题。例5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为...。求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值。解析：椭圆的参数方程为，直线的普通方程为，椭圆上点P到直线的距离d=，转化为三角函数求最值问题，最大值为，最小值为[评析]圆锥曲线的选择、填空题思路大多数是应用定义转化。在抛物线

6、中若条件是点到焦点距离，就要转化成点到准线距离，而条件是点到准线距离，就要转化成点到焦点距离；在椭圆或双曲线中，点到左焦点的距离与点到右焦点的距离可以互化。当遇到椭圆内求最值问题时，也可利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值问题。三、立体几何中的转化思想例6．如图，平面两两互相垂直，长为的线段AB在内的射影的长度分别为则a+b的最大值为。解析：以AB为体对角线构造长方体，则分别为三侧面的面对角线长度。由基本不等式可知。例7．若三棱锥的各棱长均为，则其外接球的表面积为。解析：以三棱锥的各棱为对角线构造正方体

7、，正方体的外接球即为三棱锥的外接球。例8．已知三棱锥A-BCD，AB=CD=3,AC=BD=4,AD=BC=,求三棱锥A-BCD的外接球的半径。解析：以三棱锥的各棱为对角线构造长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球。长方体的体对角线是其外接球的直径。例9．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1...中，底面为直角三角形，的最小值为。解析：在几何体中，要求线段之和最短，需要将几何体的侧面展开，利用展开图中两点连线的距离求线段之和最短。因为以为轴，将侧面展到与平面共面的位置，则即为所求。[评析]在立体几何题

8、中，三棱锥是最常见的几何图形之一，若三棱锥中有两两垂直的三条棱，或三组对棱相等时，我们可以通过构造正方体或长方体来求解；在解决立体图形中线段之和最短问题时，可利用几何体的侧面展开图，将空间两线段长度和转化为平面图形中两点连线来求解。四、导数中的转化思想例10．已知函数（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；(2)若上是单调增函数，求实数a的取值范围。解析：（2）导函数的正负决定了原函数的增减，若上是单调增函数，则上