3、围。解：延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.在△CBE中，BC－CE＜BE＜BC＋CE，∴2cm＜2BD＜10cm.∴1cm＜BD＜5cm倍长中线法的初步应用例题3：在△ABC,△A,B,C,中,AD、A,D,分别是BC、B,C,边的中线，AB=A,B,，AC=A,C,，AD=A,D,，请证明△ABC≌△A,B,C,。证明：分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,，连结B,E、B,,E,。可以证明：△ADC≌△EDB，△A,D,C,≌△E,D,B,（SAS
4、）。故有BE=CA，B,E,=C,A,，∠1=∠E，∠2=∠E,。由于CA=C,A,，故BE=B,E,。进而可证明△ABE≌△A,B,E,（SSS），因此∠E=∠E,且∠BAD=∠B,A,D,故∠1=∠2，∠BAC=∠BAD+∠1=∠B,A,D,+∠2=∠B,A,C,。进而可证△ABC≌△A,B,C,（SAS）。倍长中线法的初步应用例题4：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD，∠BAD＝∠BDA.求证：AE＝1/2AC.解：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE(SAS)．∴∠B＝∠B
5、DF，AB＝DF.∵BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，∴BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝1/2AC倍长中线法的进阶应用例题5：如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM.解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BA
6、C＝∠EAD.又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又AM＝MN，∴DE＝2AM倍长中线法的进阶应用例题6：如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB。求证：CE=2CD。证明：延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。则由△ADC≌△BDF，可得AC=BF，∠1=∠A，由AC=AB得∠ACB=∠2因为∠3=∠A+∠ACB，故∠3=∠CBF。再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD。小结实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等模型（“8”字型）构造
7、全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。练习1：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF.练习2：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.
