高中数学解题研究会第22题

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1、第22题：供题人:辽宁盘锦刘扬题目：1.(2011年浙江高考试题】已知x,>'6/?,4x2+y2=则2兀+y的最大值为【答案】出巴5的中点，若论嘶冷则sinZBG—【答案】V632.【2013年浙江高考试题】AABC中，ZC=90°,M是BC浙江嘉兴鲍辉辉乙矢』儿deg・2d饥甌庫》.专心弋尸企

2、一晳甘3档)3二■呼2△追4»册七固子卜"心傾涉i"兌八厶眩乙二-—j^js?y-皿怜；r•氏2七"小5〜<4S"-心。..二g心5“牡■心世二•庶》_詆"穴r•»邸2十庙和宀敦爭厶人贵州遵义周述银吉林郭泗强匚叽S・一z«=>-—'匕—韋G—二・JX«

3、9丿工4当匕=~^/Xx^Jze>刘彦永司令【解1如图「不妨设BM=AA7=1—4C=x儿则凡"=7?匚L…肿=Vx2+4—方/去—：衣Rt、LBC中,.sin厶曲C=一:BM5AC1.4X1BMon2+11sin厶1SCsinZR礼”xV7Ti-7x2+4=3x,整理，得/一4云十4=0,.解得x=Ji,进而得sinSC二—=並严AB—V^+43注;.在中”宙，‘二”=-7-^—可求解・..“»nsinZ^XV万去二：.由sin―BAM=扌人J5cosZ5-4.V=—.,...•在A.1SA/中,宙余弦走理,得1=(X：+1)+(P+4)-2衣

4、十1•侬石-弩,移项，平方,.整理,.n—llwa..*rAt得x4—Ax1+4=0j得三=2,i8而得sinZ£AC=从】上3河北邯郸张兵兵湖北柳金爱解析二：设得C【==JaBJT,4“=JAB：一3三根据正弦定理，得xsinZ5.-LV_sinZ.£/BsinZ.1VC_工.IB因此sinZA4C嗡=2x唇当解析二：由sinZA£V=4,得tanABM=-y,于是tanABAC=tan(£BAS1+ZC4J厂)=tanZAlVf+tanZG£V1-tantanZCLVtanZBAM+2tanABAC21-tan£BAM丄tanABAC解得

5、tanZBAC=463浙江温州汪相JUg#九邱如处倂I,刖X切时景小位力一_刃幻呀二”乃q椚”-（叶汕二syJ认刃好a叨吆小比十伽廿如，门=和协呻如，丿F/貴吃吋广wi俘呼湖州莫国良]逅（2）解法"in侮M丁5细"丁设B"Cg,AC",2t解法二如图建系,设C(0,0),B(2,0)M(1,0),A(0,b)直线AB为尹沪M到直线AB的距离为d=丁也L另一方面过M作AB的垂线MH,从而得M到直线AB的距离为d==

6、AM

7、sinZBAM=-71+^,冷吋，解得Z所以tanABAC【解答一】【2011年浙江高考试题】已知兀，ye7?,4x2+/+x

8、y=1,则2x+y的最大值为【方法一】设2兀+y=r,y=t-2xf代入+y2+xy=1中，得_^tx+t2-1=0,由△»()得厂s

9、,所以2x+y<

10、V10.前两种方法都是常规方法，在很多资料都有叙述，为了题目的完整性，这里只是借鉴过来.【方法三】观察题设条件的对称性，联想余眩定理.已知等式可以化为（2x）2+尸—2（2x）y

11、A2x【方法二】设2x+y=2m,则2x=m-}-n,y=m-n，代入4兀'+)*+xy=1中，得如图可以设AB=2x,AC=y,贝ijBC=1,cosZBAC=-i.sinA=^以下有两种思路(1)由正弦定理得2心二

12、丄,sinZAsinZCsinZBsinC+sinBsinA2x+y=smB+sinC=4丽b+sin仿-A-B)]sinA715-^=[sinB+sin(A+B)]VI5(2)如图延长BA至D点使AD二AC二y则BD=2x+y,sinZCDB=J—(c°s：BA©=JI,BC=2恥迹V8sinZCDB5当BD为直径时最大，所以BD=2x+y【方法四】注意到4x2+y2+xy=1是二次齐次式，可以采取如下方法：设y=Ax代入4/+『2+初=］中，(4+r2+心2=1,(2兀+#=«2+4Z:+4)%2所以(2%+y)2”+做+4=]+,3k疋+£

13、+4疋+比+43,8—,2価h—W—,所以2x+yW£+纟+155k还可以用三角换元解法，柯西不等式的方法，这里就不再详述.本题题目难度不大，很多学生用解法一后就不再多想，后面几种解法从不同角度全方位分析问题，虽不是常用方法，但不影响其实用性，多多分析解题过程可以帮助学生从题海中跳出来，起到事半功倍的效果！【解答二】MBC屮，ZC=90°,M是BC的屮点，若sinABAM=-,贝ijsinZBAC=3这道试题是2013年江苏高考16题，是当年得分率最低的一道题，事实上只要把握问题的木质可以从多角度解决问题.一向量法考虑到题中ZC为直角，可以以C点

14、为原点建立坐标系解决问题.设M(0,b)B(0,2b)A(a,0),则AM=(-a,b)AB=(—cz,2b)cosZBAM=a22b2