高中数学解题研究会第12题

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1、每日一题12题来源2014年高考湖北卷理科第9题，题冃虽不新颖，但是内涵丰富，引起了笔者的深入探索和思考.望大家多提意见.（大部分为刘彦永老师供稿，部分由刘扬补充）题目如下：己知斥、笃是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且乙FPF?二7T则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）3、4^3A.3B.C.3D.23一、试题分析本题属于传统题，考查了椭圆和双曲线的定义和性质、正眩定理和余弦定理等知识点.以圆锥曲线为载体，考查了数形结合思想、等价转化能力和函数方程及不等式思想.二、解法探究木题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，要求考生要

2、有一种勇于探第一类方法索、敢于实践的精神.记PF、=m>0,PF2=/?>0,F}F2=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为弓和勺•不妨设m>n,则许

3、+

4、P可=m+n,

5、吩阳卄“，则椭圆和双曲线离心率的倒数之和*+士守+罟fF而圉绕丄+丄二也+y展开:ele22c2cc思路一：（正弦定理）在场中，记ZP鬥片=&,由m>n及上F、PF产巴PF・由正弦定理得寫爲今昭匚琴,故sin0V3丄+丄=巴=纟3sin&S也，当且仅当&=三时等号成立，故选A.e}e2c332思路二：（余弦定理）在佗中由余眩定理得坊『斗眄『+『耳『_2『叶.『鸟cosZ百P毘,即(2c)~=nv+

6、at—2mncos60°=nr+iv一mn.2J2解法-（配方法）如―心瞥+中心竽即等斗，也就是占,当且仅当号"0时等号成立，故选扎nu7解法二（基本不等式法）（2c）2=-〃加=莎+斤2—2•岂•nn莎+并2—2乎,即孚罟，也就是产字当且仅当h吋等号成立，故选A.解法三（判别式法）由（2c）2=m2+n2-mn得/一加2+加2-4

7、£）存为直径,2c4a/3m4a/3m=B}E==c,—=01.713c3sin—3丨I777m解法五（向量法）利用向量方法将求一+丄=上的最大值转化为求上弓e2cc的最大值.、2丿2+4两-2PFcPF24/77V记心胃w（0,1）,贝律mI。44,16=S—1+尸-『-324故丄+丄=企婕，当ete2c3且仅当吩时等号成立，故选A.第二类方法利用在椭圆屮，S^”2=，tan*Z斥P笃，在双曲线中，S^”2=，cot*Z片P?设椭圆22223+£=1,双曲线二一厶b]b{1,其屮aj胡=a；+b；,在椭圆屮Ss,=b；週,双曲线中s曲PF,=bt乜，所以^2=3

8、^,^-c2=3(c2-^),9991313a；+3a；=4c2,即4=匚+右下面围绕—+^=4展开:exe2ee一112112解法一（换兀法）令一=2cosa，一二-^sina，则一+—=2cosa+〒sina弓5丁3弓e2a/3=攀咖+护攀当吒时等号成立,此时弓斗，e"符合条件,iY导也就是故选A.解法二（柯西不等式法）由柯西不等式得一+—<1+-

9、斗+手下，求一+

10、y的最大值•利用线性规划方法知当“巧且丁半4J3时，故选九max解法四（求导数法）记兀二丄>0,y二丄>0.由4二亠+1得4=F+3b，也就有纟1e2eie2兀=J4-3y2,从而—I—=x+y=丁4-3y2+y>求导数可知当x=>/3且y=■时,e}e2311—+—k弓*2芈，故选A.]]7774-iini—n777三、解法总结：本题从两个方面出发：一方面是围绕一+—=丄上+丄上=上有五种exJ2c2cc解法，涉及正余弦定理，基本不等式，判别式法，向量法，平面儿何法.第二方面下面围绕13—+4=4展开有四种方法：涉及可惜不等式，三角换元，线性规划，导数.四、结束

11、语试题解法的探究仅仅是试题研究的一个开端•对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻•对试题本质的探源，使我们更深刻的认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.以下收集群里老师得一些解法，有遗漏得老师可以通知我。湖北武汉程诚重庆张宇寰字吟恳莎舟桑、才“比“W112-rtt%%*芒&J^xr^Q^+^MrD莘苓曲»(r苍,卜厂芳乍盘觀©0隹£HT咋彎cyzWJY4M€t恙、r色&P07^"^&•QSM孚“0宴*4U®rse尺「C+VT3豐»也«0«;£

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