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《2017-2018学年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案：第一章+§1+第三课时+直角三角形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三课时直角三角形的射影定理［自殳禽勾］［对应学生用书P9］射影定理射影定理文字语言直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.符号语言在RtAABC中AC丄CB,CD丄A3于£>,则AC2=ADAB,BC2=BDBA,CDr=BDAD.图形语言如图所示BD［合作探究］在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在RlAABC中，ZC=90°,CD是AB边上的高.应用射影定理可以得到AC1+BC1=ADAB+BDAB=(AD+BD)AB=AB2.可见利用射影定理证明勾股
2、定理比用面积割补的方法证明更简洁.利用射影定理解决计算问题［例1］如图，D为4ABC中BC边上的一点，ZCAD=/B,若AD=6,AB=10,BD=8,求CD的长.［思路点拨］本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题.解此题时要先判断AABC为直角三角形，进一步由射影定理求CD［精解详析］在厶ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满足AB2=AD2+BD:.ZADB=90°,即AD丄BC.又ZCAD=ZB,且ZC+ZCAD=90。,.-.ZC+ZB=90°,:.ZBAC=90°,・••在RtAABC中，AD±BC.由
3、射影定理可知，AD2=BDCD,.-.62=8XC£>,9••CD=z［方法・规律・小结］一、利用射影定理时注意结合图形.同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题./〃〃/巾时炎及＜/////1.如图,在RtAABC中,ZABC=90°,CD是斜边上的高，AC=5,BC=8»求S^cda:Shcdr.解：VACDA和ZiCDB同高，.*.7^=综又AC1=ADAB,CB?=BDAB,Mcdb.AC1_ADAB_AD••而=BDAB=^・.S^CDA_AC2_52_25•丫“沏―而7—歼一64・2•如图，在R
4、t/ABC中，CD是斜边AB.h的高，DE是RtABCD斜边BC±的高，若BE=6,CE=2.求AD的长是多少.解：因为在Rt^BCD中，DE丄BC,所以由射影定理可得：CD—CEBC,所以CZ)2=16,因为BET=BEBC,所以BD=y)6X8=4羽.因为在RtAABC中，ZACB=90°,CQ丄AB,所以AD=CP2164V3利用射影定理解决证明问题所以由射影定理可得：CD1=ADBD,D[例2]如图，在ZVIBC中，ZBAC=90°,AD丄BC于DF丄AC于F,DE丄AB于E.求证：(l)ABAC=ADBCi⑵AD—BCBECF
5、.［思路点拨］本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题.［精解详析］(1)在RtAABC屮，AD丄BC,S△人AD,：.ABAC=ADBC,(2)在RlAADBDELAB,由射影定理得B»=BEAB,同理CD2=CFAC.:.BD2-CD2=BEAB-CF・AC.又在RtABAC中，AD丄BC,:・AM=BDDC.・・・Alf=B『DC2,:.AD4=BE・CFAB*AC.:.AD3=BE・CFABAC-需.又ABAC=BCAD:.AD3=BECFBC,［方法・
6、规律・小结］一、在同一问题中需多次应用射影定理吋，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射彫定理的表达式.同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形.〃〃〃巾时氷败/〃/〃3.如图，在RtAABC中，ZB4C=90。，AD丄BC于D,BE平分ZaABC交AC于E,EF丄BC于F.求证：EF:DF=BC:AC.证明：・.・ZB4C=90。，4D丄BC,由射影定理知AC2=CD-BC,即也=匹1CDACTBE平分ZABC,EA丄AB,EF丄BC,・・・AE=EF.TEF丄BC,AD丄BC,:.EF//AD.AEACDF~~DCEF
7、ACDF~~DCEFBC,9DF~ACf即EF:DF=BC:AC.3.如图，AD,BE是/XABC的两条高，DF丄AB,垂足为F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于H.求证：DF1=GFHF.证明：在与△GFB中，因为ZH+ZBAC=90°,ZGBF+ZBAC=90。,所以ZH=ZGBF.因为ZAFH=ZGFB=90。,所以△AFHs^gfb.HFAF所以丽=而’所以AFBF=GFHF.因为在RtAABD中，FD丄AB,所以D『=AFBF,所以D『=GFHF.I［本节热点命题关注］1本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低
8、档题.［考题印证］如图，AB是半圆0的直径，C是半圆0上异于A,B的点，CD丄AB,垂足为D,已知AD=2,CB=4书,贝ljCD=.［命题立意］本题主要考查利用射影定理计算线段长问题.［自主
