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1、留数定理在定积分中的应用100111205徐海搏摘要:留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。在某些积分中，不能直接求出原函数或者计算十分复杂,而留数定理就很好的解决了这些问题。本文综述了留数理论的起源、发展及基本内容和计算定积分的各种方法，例如直接积分法、凑微分法、换元法、分部积分法，并利用了所学到的这些知识去解决留数定理在定积分中应用的相关问题。关键字:留数定理;定积分;可去奇点.TheApplicationofResidueTheoremininteg
2、ralAbstract:ResidueTheoryisthecombinationofthetheoriesofintegralandseries,ResidueTheoremcanbeusedtocalculatetheintegralalongtheclosedloopintotheisolatedsingularityofresidue.Insomepoints,whetherdirectlycalculatedfunctionorcalculationisverycomplicated,andResidueTh
3、eoremisverygoodtosolvetheseproblems.ThepaperreviewsResidueTheoryoforigin,developmentandbasiccontentandvariousmethodsofcalculatingdefiniteintegral,suchasdirectintegralmethod,differentialmethod,changeelementmethod,thedivisionofintegralmethod,andusetheknowledgewhic
4、hwaslearnedtosolveResidueTheoremindefiniteintegralapplicationrelatingissues.Keywords:ResidueTheorem;Definiteintegral;Singularity一、留数的起源留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分.综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义.同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路线的选取等等,求解出了许多被积函数的
5、原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了基础[1].1825年,柯西(Cauchy)在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2].随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3].若函数f(z)在上全纯,其中r>0,a为f(z)的孤立奇点,f(z)在a的留数定义为柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,并推广到微分方程[4],级数理论及其他一些学科中,并在相关学科中产生了深远影响,成为一个极其重要的概念.因而很自然地产生了这样
6、一个问题:柯西为什么要定义这一概念?或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义?显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.某些学者在研读柯西1814年,1822年,1825年3篇论文及其与复分析有关的原始文献的基础上,以“为什么数学”[5]为切入点和主要目的,对上述问题进行探讨。二、留数的计算啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。此外,在数学
7、分析以及实际问题中,往往要求出一些定积分或反常积分的值,而这些积分中的被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来;有时即使可以求出原函数,计算也非常复杂,但我们利用留数定理,可以把要求的某些类型的反常积分或者定积分转化为复变函数沿封闭曲线的积分,从而把待求的积分转化为留数计算,这种方法也就是我们通常所说的围道积分方法。啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊一般来说,求函数f(z)在孤立奇点Z处的留数,根据留数的定义,只须求出其在为中心的圆环域的洛朗展式中负一次幂项的系数。但实际求解时我们不需要这么来求,而是先讨论函数孤
8、立奇点的类型,这样计算起来非常简便。1.若为函数的可去奇点,因为根据可去奇点的定义,的洛朗展式中不含有负数次幂的项,即。2.若为函数的本性奇点,则只能根据留数定义把f(z)在展开为洛朗级数,然后求出。啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊3.若为函数的极点,则可以根据极点的阶数利用以下三个法则进行快速求解。法则I若为f(z)的一阶极点
