特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

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1、2005年第11期13特征分析思想在解数学竞赛题中的应用周瑜君(天津师范大学数学科学学院2003级研究生,300074)22本文结合例题介绍特征分析思想的应用.a=b+bc=b(b+c),a#a=b#b+b#c.1关系式特征比较这两种特征,我们可以联想到相似数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有三角形中的比例关系,同时可以构造图形来的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与解此题.我们学过的某些知识建立起联系,从而找到证明:如图1,延长解题的切入点.CA到D,使得AD=AB2例1已知a、b、c为vABC的三边长,=c,则CB=CA#CD

2、.22且满足a=b+bc.求证:NA=2NB.所以,CB为vABD的分析:考虑到已知条件给出的关系式的外接圆过点B的切线.图1特征注意到NABC=NADB=NABD,故收稿日期:2005-03-22修回日期:2005-09-08NCAB=2NABC,特性相映照,往往能使矛盾显现出来.10@10的方格表中,且每个方格填一个数.证4.1极端位置明:必有某两个相邻方格(即具有公共边的方例6试问能否在平面上放置2008条格)中所填数字之差不小于6.线段,使得每一条线段的端点都严格地位于证明:假设可以找到一种填法使得每两其他线段的内部?个相

3、邻方格中所填数字之差都不超过5(即证明:假设可以放置2008条线段,使得小于6).观察与1在同一行、与100在同一列它们的4016个端点全部严格地位于其他线的方格内的数字a,由于a与1之间至多间段的内部.现取一定点O,并找出4016个端隔8个方格,故点中离点O最远的点A,于是,平面上再没有a[1+9@5=46.¹比点A到点O的距离更远的点(上述线段的又由于a与100之间也至多间隔8个方端点)了.由于点A严格位于另一线段BC内格,故部,从而,点A是vOBC的边BC上的点.故a100-9@5=55.OA

4、A是离点O最远与式¹矛盾,从而原命题成立.的点矛盾.可见平面上不能放置满足题目要注:本题在从特殊位置特殊对象入手的求的2008条线段.同时,又注意从全面加以考虑,从而使问题顺注:本题抓住极端位置)))最远点A,层利获证.层展开,导出矛盾.参考文献:4.2边界位置(典型位置)[1]常庚哲,李炯生.高中数学竞赛教程[M].南京:江苏例7将正整数1至100随意填入教育出版社,1989,6.14中等数学即NA=2NB.(2000,全国高中数学联赛)例2如图2,设vABC的外接圆半径为分析:仔细品味题中给出的数量关系,就R,ADLBC,DE

5、LAB,DFLAC.求证:SvABC可得到其数量特征.=R#EF.不妨设n个人分别为A1,A2,,,An,Ai分析:考虑到结论中关系式的特征与三通话的次数为mi,Ai与Aj之间的通话次数角形面积之间的关系,有为Kij(1[i、j[n),其中Kij=0或1.从而数R#EF=1(2R)#EF量特征为2n1k1mi+mj-Kij=ms-3=c,=AH#EF(AH为直径).2sE=12其中c为常数.进而猜测mi(i=1,2,,,n)由此猜测AHL为常数.EF,接下来完成证解:记n个人分别为A1,A2,,,An.设明.Ai通话的次数为mi,

6、Ai与Aj之间的通话次证明:作直径AH交EF于G,辅助数为Kij(1[i、j[n),其中Kij=0或1.线如图2所示.则显然n5.所以,NAHB=NACB.图2

7、mi-mj

8、=

9、(mi+ms)-(mj+ms)

10、因为A、E、D、F四点共圆,所以,=

11、Kis-Kjs

12、[1,1[i、j、s[n.NAEF=NADF=NACB=NAHB.设mi=max{ms,1[s[n},从而,E、B、H、G四点共圆.mj=min{ms,1[s[n}.因为NABH=90b,则AHLEF.于是,mi-mj[1.又因为DEMHB,所以,SvBDE=SvHDE

13、.若mi-mj=1,则对任意的sXi、j,1[s同理,SvCFD=SvHFD.[n,有故S四边形HFAE=SvHFE+SvAFE(mi+ms-Kis)-(mj+ms-Kjs)=S四边形BCFE+SvAEF=SvABC.=1-(Kis-Kjs)S0,1即Kis-KjsS1,1[i、j、s[n.又因为S四边形HFAE=AH#EF,所以,2所以,KisS1,KjsS0,sXi、j,且1[s[n.1SvABC=AH#EF=R#EF.2从而,mi-2,mj[1.故mi-mj-32,矛盾.2数量结构特征因此,mi-mj=0.有些题目

14、中并没有给出明确的关系式,则KijS0或KijS1.但可通过已知条件给出的数量关系,建立关若KijS0,则msS0,1[s[n,矛盾.系式,抓住其中数量的结构特征,同样可以达若KijS1,则ms=n-1,1[s[n.到解题的目的.k例3有n个人,已