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1、2016年上海市高三数学竞赛试卷2016年3月27日上午9：30〜II：30【说明】解答本试卷不得使用计算器.解答请写在答题纸上.一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1・已知函数j（x）=ax2+bx+c（a^09a、b、c均为常数），函数/心）的图像与函数/U）的图像关于y轴对称，函数无⑴的图像与函数办⑴的图像关于直线y=l对称，则函数/2（劝的解析式是・2.复数z满足
2、z
3、=l,w=3z2-4在复平面上对应的动点W所表示曲线的普通Z方程为.3.关J'•x的方程arctan2'-arctan2~x=兰的解是・64.红、蓝、绿、白四
4、颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36,共有种可能.5.已知函数/（x）=cos（^-x）,g（x）=2xa--（6Z0）;若存在兀]、x2e[0,1],使夬西）寸（冷）成立，则实数G的取值范圉为・6.如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是・（用分数表示）oc.05,它们两两间的夹角都是则&的7.在空间，四个不共线的向量鬲、OB.人小是.8.已知d>0,Q0,/+沪二1,则a+b的取值范围为二、解答题（木大题满
5、分60分）2.（本题满分15分）如图，已知五边形6AiBxCiDiEx内接于边长为1的正五边形ABCDE；求证：五边形AiBiCi£>iEi中至少有一条边的长度不小于cos^・510.（木题满分15分）设p,q和厂是素数，且pqr-1（pqr-1表示"-1能被p整除）,q
6、rp-1和rpq一1；求pqr的所有可能的值.11.（木题满分15分）已知数列匕｝满足递推关系％丄色+丄（兀AT）;23求所有卩的值，使｛〜｝为单调数列，即｛〜｝为递增数列或递减数列.12.（本题满分15分）已知等边三角形ABC的边长为5,延氏BA至点P,使得
7、AP
8、=9.D是线段BC上一点
9、（包括端点），直线AD与ABPC的外接圆交于E、F两点，其中
10、EA
11、v
12、ED
13、.⑴设BD=x,试将EA-DF表示为关于兀的函数./W；（2）求/U）的最小值.6』207.arccos(——)3-、填空题1-f(x)=ax2+&r+2-c・134.48.5.[―—,0)U(0,—].22二、解答题b2BiC1C9、已知五边形A/CD厶内接于边长为1的正方形ABCDE:求证：五边形7TA&CQE、屮至少有一条边的长度不小于cos〒o证明：AE^AA^BA^BB^CB^CC^DC^DD^ED.的长分别为a[,a2,bl,b2,c[,c2,dl9d2,el,e2
14、。于是（。[+色）+（S+E）+（Cj+C?）+（%+〃2）+（弓+勺）=5由平均数原理,（4+色）@+$），（C
15、+q），（〃i+〃2），（弓+勺）必有一个大于等于1。不妨设4-^2>1,故a2>l-a}o兀2〃A)E)2=a；+a[-2a}a2cos-—>a；+(1_绚)“+2at(l-ajcos——ax+12a；(1一cos辛=2(1-cos+—1+cos2l2.解:由题设nJpqr(qr-1)(zp-1)(pq-1)；・・・(qr一l)(rp一1)(pg-1)=p2q2r2-pqr(p+g+"+pg+“+rp-1,••・pqrpq-^qr+rp-i,即
16、P?+"+少_1=+l+丄———为正整数;pqrpqrpqr记氐=2+丄+丄一-，由于p,q,r>2,i^l3,则qh5裁W—+—V1，矛盾.25若g=2,则氐=丄+丄+(--—)>1,也矛盾，故q=3.22r4r最后，由1=丄+丄+丄一丄，得厂=5.23r6r经检验，p=2,9=3,r=5符合题意.pqr=30.11-解：％=-*“+*(兀丘“)<=>3"%”+1=-*3"%+3,令bn=3"an,则bn+i=一
17、仇+3,化+
18、—£=
19、寸(化一£)gNJ••・“+1_£=（—舟）（»_£）=（_
20、）w_1（3坷一£）,讣芥壮+（3勺一轨一沪］=討严+（坷弓冷）222?52若坷一三工0,则由一(--)M_1va〔一一，可得n>l+Iog2(-«!--),5535§25522222故当兀e且w>l+log2(—at——)II寸，—(——)"“+(網——)与佝——同号;t255355而（-
21、）/,_1正负交叉，从而％正负交叉，｛%｝不是单调数列.2221当叮严吹詬严为递减数列;综上，当且仅当al=-时，｛%｝为单调数列.512.解：(1)设u=EA9v=AD9co=DF，则f(x)=u-w
