本科07-08学年第一学期试题

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1、系别_________专业____________班级_______姓名_______学号_________是否重修(是、否)数学系本科2007－2008学年第一学期试题（A卷）高等代数评分标准（2007级）注意事项：1、本试卷满分100分，共6页，答题时间为2小时。2、答卷前将密封线内项目填写清楚。题　号一二三四五总分得　分得分评卷人一、填空题（每空2分，共10分）1.设若除以后余式等于，则（），（）2.当分别为何值时，排列为偶排列（,）3.设为矩阵，则当m（<）n时，齐次线性方程组必有非零解。4.矩阵不是可逆矩阵，则的值等于（）得分评卷人二、单项选择题

2、（每小题3分，共15分）1.下列命题正确的是（）A.如果是的重根，那么是的重根B.如果是的重根，那么是的重根C.如果是的重根，那么是的重根D.如果是次多项式，那么有重根2.按字典排法多元多项式的首项是(）A.B.C.D.3.级行列式的值为（）A.B.C.D.4.设是维向量组，下列命题正确的是（）A.如果不能由线性表示，则线性无关B.如果线性相关，不能由线性表出，则线性相关C.如果中，任意个向量都线性无关，则线性无关D.零向量不能由线性表示5.一个阶方阵的行列式为零，经过若干次初等变换后，该行列式的值（）A.保持不变B.保持不为零C.可以为任何值D.保持相同

3、的符号得分评卷人三、判断题（每小题2分，共10分）1.在实数域上是否可约（是）2.当矩阵可逆时，的伴随矩阵也可逆（是）3.当则必线性无关（不一定）4.设阶矩阵的列向量为若，则（正确）5.齐次线性方程组的一个非零解和非齐次线性方程组的一个非零解必线性无关。（是）高等代数评分标准A（第5页）（共6页）高等代数评分标准A试题（第6页）（共6页）系别_________专业____________班级_______姓名_______学号_________是否重修(是、否)得分评卷人四、计算题（共35分）1.（10分）计算阶行列式解：加边法：（每个等号2.5分）2．（

4、10分）设矩阵的伴随矩阵，且，试求矩阵解：由题意得，由两边取行列式得，即于是，用左乘得，再右乘得：，即从而：（10分）3．（15分）取何值时，线性方程组有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解（用向量形式表示）解：线性方程组的系数矩阵的行列式为（4分）（1）当且时，方程组有唯一解（6分）（2）当时，增广矩阵，，方程组无解（10分）（3）当时，增广矩阵，方程组有无穷多解，此时同解方程组为高等代数评分标准A（第5页）（共6页）高等代数评分标准A试题（第6页）（共6页）系别_________专业____________班级_______姓名_______

5、学号_________是否重修(是、否)即，（13分）其特解为，对应的齐次线性方程组的基础解系为，故原方程组的通解为（15分）得分评卷人五、证明题（每小题10分，共30分）1.证明：.（的首项系数为1）证明：首先，由，得：，（3分）其次，存在多项式与，使（5分）因而得：（8分）故是与的一个最大公因式，（9分）又首项系数为1，所以：（10分）2.设为矩阵，证明：如果，那么秩秩证：令，由于（3分）因此，即是齐次方程组的解，（6分）设秩，则可由个线性无关的解向量线性表示，（8分）于是秩，即秩秩（10分）3.设是非齐次线性方程组的个线性无关的解向量，其中是矩阵，且

6、，证明是的基础解系证明：因为，所以即是的解向量，（3分）下面证明它们线性无关，设即，由于线性无关所以，故线性无关（8分）又由于是矩阵且，知的基础解系含个解向量，故，是的基础解系（10分）高等代数评分标准A（第5页）（共6页）高等代数评分标准A试题（第6页）（共6页）