平面向量的正交分解和坐标表示及运算

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1、向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法，；(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜｜(4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0向量为单位向量｜｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量一.选择题(每题5分)1.设是的相反向量,则下列说法错误的是()A.与的长度必相等B.C.与一定不相等D.是的相反向量2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、、,

2、则向量等于()A.B.C.D.3.(如图)在平行四边形中,下列正确的是().A.B.C.D.BDCA4.等于()A.B.C.D.5.化简的结果等于()A、B、C、D、6.(如图)在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是()AB∥CD7.下列等式中,正确的个数是()A.5B.4C.3D.2①②③④⑤8.在△ABC中,,,如果,那么△ABC一定是().A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形9.在中,,,则等于()A.B.C.D.10.已知、是不共线的向量,,(、),当且仅当()时,、、三点共线. 7二.填空题(每题5分)11.把平面上一

3、切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______12.的两条对角线相交于点,且,则__________,___,____.13.已知向量和不共线,实数,满足,则______14.化简:①______;②______;③______15.化简下列各式:(1)______;(2)______.16.在中,,则______,______.17.在四边形ABCD中有,则它的形状一定是______18.已知四边形中,,且则四边形的形状是______.19.化简:______.20.在△ABC中,设,,则=______三.解答题(每题10分)21.如图,在

4、梯形中,对角线和交于点,、分别是和的中点,分别写出(1)图中与、共线的向量;(2)与相等的向量.7面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴

5、、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算7（1）若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为、，则即，同理可得（2）若

6、，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)（3）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，则，即三、讲解范例：例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.例2已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例3已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力(3，4)，(2，-5)，(x，y)的合力++=，求的坐标.7四、课堂练习：1．若

7、M(3，-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则-2=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.同步练习一、选择题1、已知=(-2，4)，=(2，6)，则=()A．(0，5)B．(0，1)C．(2，5)D．(2，1)2、已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量同向的单位向量是（）A．(，-)B．(-，)C．(-，)D．(，-)3、若向量=(1，1)，=(1，－1)，=(－1，2)，则等于（）A．－+B．－C．－D．－+4、已知向量=（1，