例说平方差公式、完全平方公式的结构特征

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1、例说平方差公式、完全平方公式的结构特征师：同学们，我们已经学习了如下两个乘法公式：平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a－b完全平方公式：(a±b)＝a±2ab＋b你能说出它们的结构特征吗？快嘴朱春明没举手就迅速站起来说：“平方差公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，右边是这两个数的平方差。”小百灵陈海田也不甘示弱，道：“完全平方公式的结构特征是左边是两个数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍。”小眼镜于政慢条斯理地接着说：“左边都是二项式乘以二项式，右边只是一个多项式。”细心的许洪秀象发现新大陆一样，激动地说：“这两个公式，从左向右看

2、，属于整式的乘法运算，从右向左看，属于因式分解。”平时在符号上常出错的牛川同学说：“平方差公式中的两个平方项是异号，一正一负；而完全平方公式中的两个平方项是同号，都为正，乘积项的符号取决于原来两个数a、±b的符号，同号得正，异号得负。”师：同学们的发现都是对的。你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗？例1、计算：(1)(2m－3n)(2m＋3n);(2)(－3＋2a)(―3―2a);(3)(－5＋2x)(－2x－5).韩金轩同学分析道：“这三小题都可以用平方差公式进行计算，关键是要正确确定公式中的两个数分别是什么，它们分别是2m与3n、－3与2a、－5与2x，结果等于它们的平方

3、差。”于是，解题过程如下：解：（1）原式＝（2m）－（3n）＝4m－9n;（2）原式＝（－3）－（2a）＝9－4a;（3）原式＝（－5）－（2x）＝25－4x.例2、计算：（1）(－m＋n);（2）(－2a－7b).不太善于表达的陈博同学在较短时间内，把自己的解法呈现给大家：解：（1）方法一：原式＝（－m）＋2×（－m）×n＋（n）＝m－2mn＋n方法二：原式＝(n－m)（把－m、n互换位置）＝（n）－2×n×m＋（m）＝n－2mn＋m（2）方法一：原式＝（－2a）－2×（－2a）×7b＋(7b)3＝4a＋28ab＋49b方法二：原式＝［－（2a＋7b)］＝（2a＋7b)＝

4、（2a）＋2×2a×7b＋(7b)＝4a＋28ab＋49b例3、计算：（a＋b－c）（a－b＋c）.善于变通的任加林同学，沉默了一会儿，说：“这是三项式乘以三项式，第一项相同（都是a），第二、三项＋b－c、－b＋c互为相反数，根据整体思想，可以写成＋（b－c）、－（b－c），这样就符合平方差公式。”于是，解题过程如下：解：原式＝［a＋（b－c）］［a－（b－c）］＝a－（b－c）＝a－（b－2bc＋c）＝a－b＋2bc－c例4、你能用乘法公式计算(a＋9)(a＋1)吗？爱动脑筋的祁金龙同学，一会儿皱着眉头，一会儿动手疾书，终于想出了办法：“根据平方差公式，因为（a＋b）＋（

5、a－b）＝2a、（a＋b）－（a－b）＝2b，所以(a＋9)＋(a＋1)＝2a＋10＝2（a＋5）、(a＋9)－(a＋1)＝8＝2×4，于是(a＋9)(a＋1)转化为［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］，利用平方差公式进行计算。”于是，解法如下：解：原式＝［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］＝(a＋5)－4＝a＋10a＋25－16＝a＋10a＋9.例5、因式分解：（1）1－16a;（2）49（a－b）－16（a＋b）.解云云同学说：“这两小题都是平方差的形式，即1－（4a）、［7（a－b）］－［4（a＋b）］，所以都可以用平方差公式进行分解因式。”解：（1）原式＝1－（4a

6、）＝（1＋4a）（1－4a）；（2）原式＝［7（a－b）］－［4（a＋b）］＝［7（a－b）＋4（a＋b）］［7（a－b）－4（a＋b）］＝（11a－3b）（3a－11b）例6、因式分解：（1）x＋x＋；（2）a－2a(b＋c)＋(b＋c).解：（1）原式＝x＋2×x×＋（）＝（x＋）；（2）原式＝［a－(b＋c）］＝(a－b＋c).3评析：本题都是三项式，要验证是否符合完全平方公式，即确定平方项与乘积项，看两个平方项是否同号，乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。例7、因式分解：xy－8xy＋16.解：原式＝（xy）－2×xy×4＋4＝（xy－4）＝［（xy＋2）（xy－

7、2）］＝（xy＋2）（xy－2）注意：因式分解一定要分解到不能再分解为止。师：同学们的表现很优秀，老师为有你们这样的学生而感到自豪！下面我们一起来走进09中考试题，感悟一下中考的氛围吧。1、把x－2xy＋xy分解因式，结果正确的是（）（2009年北京市中考题）A.x（x＋y）（x－y）B.x(x－2xy＋xy)C.x（x＋y）D.x（x－y）2、在实数范围内因式分解x－4＝（2009年杭州市中考题）3、因式分解：（x＋y）－3（x＋y）＝（2009年嘉兴市中考题）4、分解因式：2x－8x＝（2009年广东省中考题）