线性代数在经济研究中应用

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1、线性代数在经济研究中应用［摘要］线性代数在计算数学、运筹学、生物学、微积分、经济科学、管理科学等众多领域都有着广泛的应用。经济系统内各部门间是相互联系、相互依存的，每个部门都具有双重性：每个部门不仅向自身、其他部门及社会提供自己的产品或服务，同时在生产过程中都要消耗自身及其他部门提供的产品或服务。投入产出分析是一种行之有效的经济数量分析方法，投入产出模型是国民经济计划工作的重要工具。在市场经济条件下，投入产出分析被充分吸收到国民经济核算体系中，具有重要的实践意义［关键词］投入产出方法直接消耗系数完全消耗系数技术结构

2、矩阵［中图分类号］D151.2［文献标识码］A［文章编号］2095-3437(2013)11-0044-04线性代数在计算数学、运筹学、生物学、微积分、经济科学、管理科学等众多领域都有着广泛的应用，如矩阵是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具。著名的投入产出分析就是以线性代数理论为基础的，是线性代数卓有成效的应用。投入产出方法可以进行经济预测、研究某项经济政策的实施将对社会经济产生什么影响，还可以用于一些专门的社会问题研究(如环境污染问题、人口问题、世界经济结构问题等）。线性代数知识也是线性规划问题研究的

3、必备基础。计算数学中一切方法无例外地都以线性代数为基础，从这个意义上，可以说线性代数是完全的应用学科。以下以投入产出方法为例，给出它在经济分析中的应用实例。投入产出分析是20世纪30年代由俄罗斯籍美国经济学家列昂惕夫（1906〜1999）首先提出的，是经济分析的一种方法。粗略地说，就是产出某种产品，需要投入多少资源？一、投入产出方法的基本原理例1铁路建设的钢材需求问题建设一公里铁路约需要用钢材100吨，如果计划增建3000公里铁路，需要钢铁部门增产多少钢材？分析：需要增产的钢材是不是100X3000=300000（

4、吨）呢？事实上并非如此。因为为了增建这三千公里铁路，还需要增加采矿、炼铁、炼钢、轧钢、电力、运输等部门的生产能力，这些部门都需要增加对钢材的需求，甚至扩大工人住宅也需要钢材。因此增建三千公里铁路，远远不止需要30万吨钢材，必须统筹考虑各部门之间的关系，并进行综合平衡。投入产出分析就是对例1中这样错综复杂的关系进行定量分析，使各部门能有计划按比例地协调发展。它是研究某一经济系统中各部门之间的“投入”与“产出”关系的一种线性模型，一般称之为投入产出模型，被广泛的应用在微观及宏观经济系统的平衡分析上，已成为进行现代化管理

5、的重要工具。“投入”是指从事一项经济活动的各种消耗，其中包括原材料、设备、动力、人力、资金等的消耗；“产出”是指从事一项经济活动的结果（若从事的是生产活动，产出就是生产的产品）。投入产出方法应用广泛，以下介绍其基本原理及计算方法。（一）价值型投入产出模型经济系统内各部门间是相互联系、相互依存的，每个部门都具有双重性：每个部门不仅向自身、其他部门及社会提供自己的产品或服务（即产出），同时在生产过程中都要消耗自身及其他部门提供的产品或服务（即投入）。而经济系统各部门之间的投入产出关系通常用投入产出表来描述。（1）投入产

6、出表投入产出表分为实物型和价值型两种。实物型投入产出表采用实物计量单位编制，其特点是经济意义明确，适合于实际工作的需要；价值型投入产出表采用货币计量单位编制，其特点是单位统一，适合于对经济系统进行全面的分析研究。以下为价值型投入产出表：表1其中xi表示第i个生产部门的总产出，xij表示第i个部门在生产过程中消耗第j个部门的产品数量，yi表示第个i部门的最终产品，zj表示第j个部门的新创造价值(i,j二1,2…,n)o(2)平衡方程(I)产品分配平衡方程为了保持一个经济系统的正常运转，必须保持投入与产出之间的平衡，从

7、数量关系上看，就是要使xi、xij及yi满足方程组：xll+xl2+・・・+xln+yl=xlx21+x22+・・・+x2n+y2二x2xnl+xn2+・・・+xnn+yn二xn或简写成xi=Bxij+yi(i=l,2…，n)(1)它表明，每一个部门的总产出xi应等于该部门留着本部门使用的产品及在生产过程中流向其他各部门作为中间产品消耗的产品・xij和向社会提供的最终产品yi的总和。式(1)称为部门间产品分配平衡方程。(II)生产消耗平衡方程从投入产出表的纵列看，要保持一个经济系统投入与产出之间的平衡，还要使xj、

8、xij及zi满足方程组：xll+x21+・・・+xnl+zl二xlxl2+x22+・・・+xn2+z2=x2或简写成xj=Bxij+zj(j=l,2…，n)(2)它表明，每一个部门的总投入xj应等于该部门所消耗的全部物资・xij以及新创造的价值zj之和。式(2)称为部门间生产消耗平衡方程(或产值方程)。(II)投入产出均等方程对产品分配平衡方程(1)两边求和