北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题110_1

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1、北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题1-10【例1】求极限【详解】分别求左右极限，有.所以原极限=.【例2】已知，求.【详解】===38.【例3】已知【详解】【解法一】因为所以由等价无穷小代换得。用极限与无穷小的关系得。代入得=【解法二】因为所以由等价无穷小代换得，所以。所以，。【例4】设有连续导数，且。当时，与是同阶无穷小，则常数等于（）(A)1(B)2(C)3(D)4【详解】因为=，所以，.因此，.由同阶无穷小的定义知，。故应选(C)。【例5】已知，则.【详解】由于题设只给出可导，故求极限时无法使用洛必达法则，只

2、能应用导数定义进行计算。===.【例6】设函数f(x)在x=0点连续，且，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为【详解】因为，所以由已知条件得，，因此，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为，即【例7】设函数在上连续，在内可导，其中试证至少存在一点使得【证明】将结论变形得：上式左端不是一个函数的改变量与其自变量改变量的商，但用ab去除其分子、分母，即可化成其左端恰为函数的改变量与其自变量改变量的商，所以可设辅助函数。显然，在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，所以，至少存在一点使得即因此结论成立，即至少存在一点使得【例8】设函数

3、在上连续，在内可导，且。试证存在，使得。【分析】将题设等式改写为，式中应该是对函数和使用柯西定理的产物，而是对使用拉格朗日定理的产物。【证明】设。对和在上使用柯西定理，有，。再对在上使用拉格朗日定理，有，将此式代入前式中，经整理得，.【例9】设函数可导，且满足又单调减少。证明：对任，有【证明】（1）令则当单调递减。又故当即（2）解法一：当根据拉格朗日中值定理，有单调递减）因此，即解法二：令.由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使得.由题设单调减少，且，故因此，当时，单调减少，，即.【例10】设f(x),g(x)在[0，1]上的导

4、数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a,有【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且，由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到，而=，故F(1)=0.因此时，，由此可得对任何，有方法二：=，=由于时，，因此，，，从而【评注】对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论.