函数的奇偶性及 答案

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1、函数的奇偶性基础训练：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　)A．－B.C.D．－答案：B2.对于定义在R上的任何奇函数，均有（）A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)>0D.f(x)·f(-x)≤0解析：∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0.3.若a>0,a≠1,f(x)为偶函数，则g(x)=f(x)·loga(x+)的图象（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称解析：∵g(-x)=f(-x)·loga(-x+)=f(

2、x)·loga(x+)-1=-f(x)·loga(x+)=-g(x)，∴g(x)为奇函数.4．设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：观察可知，y＝x3cosx为奇函数，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝10.则f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.5．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)．A．f(x)＋

3、g(x)

4、是偶函数B．f(x)－

5、g(x)

6、是奇函数C．

7、f(x)

8、＋g(x)是偶函数D．

9、f(x)

10、－g(x)是奇函数解析　

11、由题意知f(x)与

12、g(x)

13、均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A6.已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间［0，1］是增函数，则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为（）A.f(-6.5)

14、f(1)即f(0)0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(

15、－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．点评：判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，然后再判断。（1）定义法（2）图像法（3）性质法考点二函数奇偶性的应用1．利用函数的奇偶性，求函数式例：已知f(x)为偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=x2+x-2,则f(x),g(x)分别为___________________.答案：x2-2,-x解析：∵f(x)-g(x)=x2+x-2,∴f(x)+g(x)=x2-x-2，故f(x)=x2-2,g(x)=-x.例已知y=f

16、(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=x2-2x-1,求函数f(x)的解析式。例：已知y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2-2x,求x>0时f(x)的解析式。例.是否存在实数a，使得函数f(x)=log2(x+)-a为奇函数，同时使函数g(x)=x(+a)为偶函数？证明你的结论.证明：若f(x)是奇函数,则f(x)+f(-x)=0,即log2(x+)+log2(-x+)-2a=0.整理得log2(x2+2-x2)-2a=0,∴a=.若g(x)为偶函数,则g(x)-g(-x)=0,即x(+a)+x(+a)=0.化简，得x(-1+2a)=

17、0,∴a=.综上，存在a=满足条件.例：已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围解　∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有解得－1≤m≤.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.考点三，函数周期性及其应用例：若是定义在上的偶函数，并满足，当时，4，求的值。12.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=