数学二专项1-极限

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1、数学二专项1•极限考研数学极限试题常见题型及求法研究王刚杜守旭摘要：通过选取考研典型例题，归纳总结岀函数的连续性、等价无穷小的代换、罗比达法则、极限定义、n项数列求和、泰勒公式、拉格朗日中值定理、积分中值定理、收敛级数的必要条件、单调有界数列收敛的充分条件及特例等考研数学中求极限的实用方法，具有较高的参考和实用价值。关键词：函数极限；数列极限；无穷小的代换；极限是微积分的重要组成部分，是高等数学的理论基础。极限是高等数学的根，离开它,高等数学的连续性、导数、定积分、曲线积分和曲面积分等便无从谈起，因此极限便

2、是整个高等数学的重点和难点，也是考研数学每年的重要考点。结合日常教学经验和历年考研试题,总结出一套比较行之有效的方法供各位教师和学生参考，使之有章可循，“有法可依”。ian.r_sinxlim-——t—=limesinxkto+tanx-sinxxto+(an.v-sinxi=lim严'tanx-sinx5+tanx-sinx=limgSil1A=1tanx—sinx^0*但务必记住：乘除时可以直接代换，加减法不能直接代换。如：limtanx-sinx=lim.r-£=。显然是错误,X—>0力X—>0应该是

3、limtanA：Sin%兀t0工・sinx(secx-l)lim“TO工・1.x.—x^=lim—岂—XT°工同时注意做题时不能只想到把等价无穷小代换的左边换成右边，要学会逆向思维，有时需要把右边换成左边。如:“sinx-sin(sin兀)“sinx-sin(sinz—sinz“1-cos/1lim=lim=lim——=lim=—xtox兀tosinx20广fto3r6(2)有些题目比较麻烦，需要自己通过等价无穷小的定义来构造等价无穷小如I：lim:xTi1—兀+lnx解：当兀一>1时，分子x-xx=_x(

4、工z_1)=_兀(幺⑺一叩心-]j□—x(x-l)ln[l+(.x-l)□-x(x-l)2分母1一x+In兀=1一x+In[1+(兀一1)]=1一兀+(x—1)一(无if2=2丄ti1-x+lnx开ti(工_1)「In(兀+J1+兀2(另外lim=1,所以当兀TO时，InX+JIT7□兀，此公式常用，可作为结论XTOX/记住。3、罗比达法则罗比达法则专门解决不定式极限，不定式共有->->0.oo.oo-oo.0r>00°七种类型，但0OOO.oo、oo・oo、0°、r0°五类方法通过通分、有理化、取

5、对数、□=?1D等化成9、二型。因此下面08只介绍9、二型。08胞P"巴寒二阻J二…卵券“其中弘为正整数’小°。sinx-sin^z(.cosxInn=lim=cosaoktqx-a“Ta14、极限的定义(左右极限存在且相等)limXT()3+ex*ln(l+ox)存在，求。的值。limlimx->(r2l+ex丄3+0’ln(l+ox)x_1_3+0"+ln(l+Q)=lim心(厂1+03+0cix+——-X=3-a^a=3-a:.a=-25、兀项数列求和（1）拆项裂项/lim”一>8+丄+」臥(1丄+

6、丄丄+・・・+丄一丄］223nn+)liml1斤+1)=1（2）利用夹逼准则夹逼准则在计算〃项数列求和中有着极其重要的作用，除了明确准则的要求外，一定要明确准则的技巧，那就是：分子永远不用动，动分母（把最大分母放左边，最小分母放右边）。例题：lim7?(/t+l)""212T-=r+-；+…+—^iv+2«zr+zi+zttr+n+n/?〜+〃+/?12HT8<:+—~二+…+n

7、lim—2——=lim.2“T8疔+2n"->8n~+〃+12所以limH—>co1

8、**/?+〃+1n2+兀+2(2)利用定积分定义当计算〃项数列求和夹逼准则没法用时，要想到定积分的定义，如lim"T8n+l7?+272+77、k/z2+1+n2+22+'+n2丿=lim—n—8n'1+丄-~~+21y19kIVAT〔21n1+-l+-n+...—EIn1+二n注：分母中其他项对最高次幕无影响时用夹逼准则，有影响时用定积分定义。但有些题目需要把夹逼准则和定积分的定义结合使用。如lim”T8]_2enen1

9、+…+”+1.4-12nefIrh+-n)首先根据夹逼准则,丄21enenen1…5Fn+1w+1w+1n+12en-r〃+-2n夕+...H—兀+—nph小Q”而lim—+—+—n(£2nAf2nlimenen+en+…+-limnene"HF.enm+1斤+177+1n+1nnnk丿J/>8e-1/同理lim"T8177V77+1可求。(4)利用无穷级数求和limHT8<12n書4,利用无穷级数求和=工无”