3.2 圆的对称性(一)

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1、3．2圆的对称性课时安排2课时从容说课圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念．本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明．第二课时课题§3．2．1圆的对称性(一)教学目标(一)教学知识点1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理

2、进行有关的计算和证明．(二)能力训练要求1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．2．培养学生独立探索，相互合作交流的精神．(三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点垂径定理及其逆定理．教学难点垂径定理及其逆定理的证明．教学方法指导探索和自主探索相结合．教具准备投影片两张：第一张：做一做(记作§3．2．1A)第二张：想一想(记作§3．2．1B)教学过程I．创设问题情境，引入新课，[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪

3、位同学能叙述一下轴对称图形的定义?，[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．Ⅱ．讲授新课[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．[师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条

4、过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]很好．教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如右图。以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：1．弧包括优弧(majorarc)和劣弧(minorare)，大于半圆的弧称为优弧，小于

5、半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．直径是弦，但弦不一定是直径．下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与

6、圆交于另一点B，如上图[师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过第一步，我们可以得到什么?[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.[师]为什么呢?[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合．[师]还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?[师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共

7、边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA＝OB

8、．在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt