考试点 桑园2014考研数学《线性代数》考点精讲与过关习题(数一)

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1、《线性代数》考点精讲目录第一部分行列式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（１）第二部分矩阵!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（８）第三部分线性方程组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（１５）第四部分向量组的线性相关性!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２３）第五部分特征值与特征向量!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（３３）第六部分二次型!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（４３）《线性代数》考点精讲第一部分行列式一、排列的逆序数定义：

2、逆序数是一个排列中逆序的总和．【例１】求排列的逆序数１）２５１３４解：ｔ＝０＋０＋２＋１＋１＝４２）ｎ（ｎ－１）…３２１ｎ（ｎ－１）解：ｔ＝０＋１＋…＋（ｎ－３）＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＝２３）１３５…（２ｎ－１）２４…２ｎ（ｎ－１＋１）（ｎ－１）ｎ（ｎ－１）解：ｔ＝０＋０＋０…＋０＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋…＋１＋０＝＝２２二、行列式的定义ａ１１ａ１２…ａ１ｎａ２１ａ２２…ａ２ｎｔ定义：Ｄｎ＝＝∑（－１）ａ１ｐ１ａ２ｐ２…ａｎｐｎ其中ｔ为ｐ１，ｐ２，…，ｐｎ的逆序数．ａｎ１ａｎ２…ａｎｎ【例２】计算行列式００…０１０００…２００Ｄ＝０２００８…０００２００９０…００００

3、０…００２０１０ｔ解：Ｄ＝（－１）２０１０！＝２０１０！ａ１，２００９，ａ２，２００８…ａ２００９，１，ａ２０１０，２０１０２００９，２００８，…１，２０１０（１＋２００８）２００８ｔ＝０＋１＋…＋２００８＋０＝偶数．２—１—考试点（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名师精品课程电话：４００６８８５３６５ｘ２ｘ１０１３ｘ－１１４３【例３】设ｆ（ｘ）＝则ｆ（ｘ）中ｘ的系数为６，ｘ的系数为－４．３４２ｘ－２１１－１ｘ４３ｘ：ａ１１ａ２２ａ３３ａ４４ｘ：ａ１２ａ２１ａ３３ａ４４三、利用行列式的性质及按行按列展开定理计算行列式１．性质：１）ｒｉｒｊ，Ｄ１＝－Ｄ２）ｒｉ＋ｋｒｊ，Ｄ１＝Ｄ３

4、）ｋｒｉ，Ｄ１＝ｋＤＴ４）Ｄ＝Ｄ５）ｒｉ＝ｋｒｊ，Ｄ＝０６）拆行（或列）（注：行、列性质类似）２．按行列展开定理：Ｄｎ＝ａｉ１Ａｉ１＋ａｉ２Ａｉ２＋…＋ａｉｎＡｉｎ（按第ｉ行展开）Ｄｎ＝ａ１ｊＡ１ｊ＋ａ２ｊＡ２ｊ＋…＋ａｎｊＡｎｊ（按第ｊ列展开），其中Ａｉｊ为Ｄ中元素ａｉｊ的代数余子式．１２３４－１０１２【例４】（低价无特点的行列式）１２－２３２６８９１２３４－１１２－１１２－１０１２１＋２解：Ｄ＝＝２（－１）０－５－１＝－２０－５－１００－５－１－１－１－３０－２－５－１０－１－３－５－１１＋１＝（－２）（－１）（－１）＝４６－２－５【例５】（各行之和全相等的行列式）６１１１１６１１（１

5、）１１６１１１１６９１１１１１１１１０００９６１１１６１１１５００解：Ｄ＝＝９＝９＝９×１２５＝１１２５９１６１１１６１１０５０９１１６１１１６１００５—２—《线性代数》考点精讲λ１…１１λ…１（２）Ｄｎ＝１１…λ１１…１１０…０１λ…１１λ－１…０解：Ｄ＝［λ＋（ｎ－１）］＝［λ＋（ｎ－１）］１１…λ１０…λ－１ｎ－１＝［λ＋（ｎ－１）］（λ－１）ａｂ００００ａｂ００【例６】（降阶法）００ａｂ００００ａｂｂ０００ａａｂ００ｂ０００按第１列展开０ａｂ０ａｂ００１＋１１＋５解：Ｄ＝ａ（－１）＋ｂ（－１）００ａｂ０ａｂ００００ａ００ａｂ１＋１４１＋５４５５＝ａ（－

6、１）ａ＋ｂ（－１）ｂ＝ａ＋ｂ【例７】（箭头型行列式）１１１…１１２０…０Ｄｎ＝１０３…０１００…ｎ１１１１－－－…－１１…１２３ｎ０２０…０１１１解：Ｄ＝＝（１－－－）ｎ！００３…０２３ｎ０００…ｎ—３—考试点（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名师精品课程电话：４００６８８５３６５１２２…２２２２…２【例８】（各行有公共部分）Ｄｎ＝２２３…２……………２２２…ｎ－１００…０２２２…２解：Ｄ＝００１…０＝－２·（ｎ－２）！０００…ｎ－２【例９】（逐行作差）１２３…ｎ－１ｎ－１１１…１１２１２…ｎ－２ｎ－１－１－１１…１１３２１…ｎ－３ｎ－２－１－１－１…１

7、１Ｄｎ＝＝ｎ－１ｎ－２ｎ－３…１２－１－１－１－１１ｎｎ－１ｎ－２…２１ｎｎ－１ｎ－２…２１－１００…００－１－２０…００－１－２－２…００ｎ－１ｎ－２解：Ｄ＝＝（－１）２·（ｎ＋１）－１－２－２…－２０ｎ２ｎ－１２ｎ－２…ｎ＋２ｎ＋１１１１…１ｘ１ｘ２ｘ３…ｘｎ２２２２【例１０】（范德蒙行列式）通式Ｄ＝ｘ１ｘ２ｘ３…ｘｎ＝∏（ｘｉ－ｘｊ）１≤ｊ＜ｉ≤ｎｎ－１ｎ＋１ｎ－１ｎ－１ｘ１ｘ