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时间:2019-02-23
《2010考研数学复习(高数与线性代数)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.第一章函数极限连续一.求极限方法小结极限是整个微积分的基础,要理解微积分,首先要很好地理解极限的概念.有多种求极限的方法,究竟该用哪种方法求极限,关键是要判断极限属于哪一种类型.1.知识要点(1)利用极限的定义求极限.(2)利用极限运算法则求极限.(3)利用不等式求极限.(4)利用变量代换法求极限.(5)利用两个重要极限求极限.(6)利用单调有界准则求极限.(7)利用函数的连续性求极限.(8)利用等价无穷小代换求极限.(9)利用单侧极限求极限.(10)利用罗必达法则求极限.(11)利用导数定义求极限.(12)利用定积分定义求极限.(13)利用公式求极限.2.典型例子例1:设求证
2、:存在,并求其值.例2:求(答案:1)例3:求(答案:1)例4:求(答案:0)例5:求(答案:)...例6:(答案:)例7:求常数,使()例8:已知,证明数列收敛,并求出此数列的极限.例9:设,求(答案:)例10:求(答案:1)例11:求(答案:1)例12:(答案:1)例13:设,证明:当时,与是同阶无穷小量.例14:(答案:)例15:求(答案:)例16:求(答案:)例17:设在原点的邻域内二次可导,且,求...及(答案:)例18:设在的某邻域内具有二阶导数,且,求及.(答案:,)例19:设,,均为非负数列,且,,,则必有对任意成立;对任意成立;极限不存在;极限不存在.(2003
3、年数学一)例20:已知,求(答案:)例21:设函数在的某邻域内具有二阶连续导数,且,,.证明:存在惟一的一组实数,使得当时,是比高阶的无穷小.例22:求极限(答案:)例23:已知当时与是等价无穷小,求常数和.(答案:)例24:设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是若收敛,则收敛.若单调,则收敛.若收敛,则收敛.若单调,则收敛....(答案:B)(2008年数学一)例25:求极限(答案:)(2008年数学一)二.函数的连续性1.知识要点1.函数在一点的连续性:在点处连续在点处连续2.连续函数的运算3.初等函数的连续性:基本初等函数在定义区间内是连续的;初等函数在定义区间内是连
4、续的4.函数的间断点和间断点的分类5.闭区间上连续函数的性质:最值定理、介值定理2.典型例子例1:求函数的间断点,并指出其类型.例2:讨论函数在定义域内是否连续.例3:设其中具有连续导数且,试确定的值使连续,并讨论是否连续.(答案:)例4:设在内连续,,且,试证明至少存在一点,使.例5:设在上连续,且,证明(1)存在,使...;(2)存在,使.例6:设函数在上连续,在内可导,且,试证必存在,使(2003年数学三)例7:设函数问为何值时,在处连续;问为何值时,是的可去间断点?(2003年数学二)例8:设试补充定义使得在上连续。(答案:)(2003年数学三)例9:函数在下列哪个区间内
5、有界.()()()()(2004年数学三)例10:设在内有定义,且则()必是的第一类间断点.()必是的第二类间断点.()必是的连续点.()在处的连续性与的取值有关.例11:设在连续,且,证明:,使得.......第二章一元函数微分学一.导数与微分1.知识要点1.导数的定义:导数反映了客观运动过程的瞬时变化率2.导数的物理意义、几何意义:分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率.曲线在点处的切线方程为:法线方程为:3.在经济学中,的边际函数是指关于自变量的变化率。例如表示边际成本函数,表示边际收入函数,表示边际利润函数.4.函数可导与连续的关系:如果函数在点可导,则在点处连
6、续。但是,连续却不一定可导.5.求导法则:导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则.6.微分的定义与运算法则.2.典型例子例1:求函数的一、二阶导数并讨论其连续性.例2:设(为实数),问在什么范围内(1)连续;(2)可导;(3)导数连续;(4)二阶可导.例3:设是可导函数,对于任意实数有,且...,求函数的表达式.例4:求的不可导点的个数.(答案:2)例5:设,则在点可导的充分必要条件是()存在;()存在.()存在.()存在.例6:设是由方程所确定的隐函数,求.(答案:)例7:设且二次可微,,求.(答案:)例8:设函数的导数与
7、二阶导数均存在,并且均不为零,其反函数为,求.(答案:)例9:作已知曲线的切线,使其平行于直线,使求此切线方程.(答案:)例10:已知曲线的极坐标方程是,求该曲线上对应于的切线与法线的直线方程.(答案:,)例11:设在上连续,且,则下列结论中错误的是()至少存在一点,使得;()至少存在一点,使得;()至少存在一点,使得;()至少存在一点,使得.(答案:())(2004年数学三)例12:以下命题中,正确的是...()若在内连续,则在内有界.()若在内连续,则在内有界.()若在内有界
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