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2、&艺艺式知一般线性代数的教本仅在证明和矩阵秩数有关1。。。。。。十。。。).)”20ΙΙ0的命题时用到它。下面的结果将使我们看到,柯西公.),,),0Ι吞∗&式是一个有力的代数工具用它还可以解决其它一些诵·⋯式,,1重要的代数问题而且在解决这些问题的方法中它4进04亡贬4亡之∗,2⋯⋯。,显得比较简洁其中增设指标Ι表示块、’)‘’’‘)”二下面我们用柯西公式证明线性代数中的儿个“儿“十”“,利〔注∋〕‘))∗/Β定理首先将这些定理列举如下‘月8粼贬群吮4’2⋯⋯⋯&!9:;&:<<设、刀”,,”一命肠
3、月均为阶矩阵用中前Ι列含于矩阵斗后Ι列含于矩阵刀设从,)△表示月的任一子式△表示,,,,中相当于凸的子式中下面一单位矩阵中划去第。⋯⋯,行所余‘乙、·’,,」,)、94”一一一77777”“7小的代数余子式则所有可能△和△之积的和等于十,·,,。诸行为Δ之丈”⋯八育〔注Η〕易见=∗刀//),,∗&,‘。:8三ΑΒ::Ε”‘八,召介尽欠二二召命月∋!>?≅&一<ΧΔ阶矩阵于的特式#8一)),),)2⋯⋯⋯⋯⋯”征多项式为⋯5)了、声ϑ十,,二召,,泥了一寸”一:,,∀一’∗:Φ‘,一“Γ∗!一&”“。
4、八⋯⋯汽!丈⋯⋯粼&&又又只⋯⋯,十,『,,粼则内月之所有‘。⋯⋯从笋!召丈⋯⋯2恰为阶主子式之和、,从而!&可写为命匆Η设+,为任意矩阵但+,和,月是,。。正方阵则+,与,+的非零特征根相同艺十。,月、,”卜命匆=以月记+的伴随矩阵设均为艺式,!月Ι阶方阵则’‘’’&““ΙΜ十0”·”二,+5飞+一月,00,,··、韶,7)Κ!∀:<ΑΛ≅弓,切召召二八∀命翻设为阶方阵则一一八,,+!月Ι,ΙΦ将上式和号后的行列式按含于中的诸列⋯⋯式ϑ,∗,·11111112依行列式展开定理!
5、见〔注0〕展开并注意八ϑ一∋一90,八的意义即得一∋0二一’·&“”代余式”1礴十。,一Φ&/式左Ι娜艺艺艺1二0,+,一’二0,月。.义)’ϑ2在此当娜时视//无论//为何!八Ι!Ν,’下面依次对上述命题给出证明·代余式夕灰二,)〔证命题0〕设9几为阶单位阵且玖召(2〕)通,0式,!,二!一,。,一艺艺,)’)’)’)’)’ϑ2艺.!月!夕户,.·代余“·、!,二、一,,。,斑一,斌,)’)’)’)’)’)八2艺艺.≅恰为命题所断言的形式!这里艺!Ν&艺!,’则由上题的结论
6、知!口!Ν&)∀,。Π⋯“尹·式。的意“见〔注0〕,艺!Ν艺Ο八Ο月!Ν】’)),撇总6⋯夕)⋯⋯Θ’)’)’/块,’“块,烂〔证毕〕⋯里里矍竺1⋯⋯,不2’“·。)ϑ2〔∋〕气夕&0’睁,证命题和上题的过程相同对⋯『⋯,,”鑫一“,’.−一=“了,&又了0!乡2!0,‘。柯西公式·尽⋯八‘,应用柯西公式得!1系黔五))⋯口,‘‘,一、二,,””刀,介衡&’‘ϑ,式尹汀卜艺艺万,’)二二Π二·60”⋯68式,二4才#!Ι.!八!夕0八2刀Ν’)),八⋯⋯系孙⋯,00,,)9才4心,
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