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《数理统计课件 4.2 正态总体均值与方差的假设检验》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4.2正态总体均值与方差的假设检验一、简介对于正态总体，其参数无非是两个：均值(期望)µ和方差2σ，如果加上两总体的参数比较，概括起来，对参数的假设一般只有如下四种情形：222（ⅰ）对µ，（ⅱ）对σ，（ⅲ）对µ,µ，（ⅳ）对σ,σ．1212检验的类别和方法：⎧u检验法(方差已知)关于均值的检验⎨⎩t检验法(方差未知)2⎧χ检验法(一个正态总体)关于方差的检验⎨⎩F检验法(两个正态总体)下面我们将分别予以讨论。二、正态总体均值的检验(一)U检验法U检验适应在方差已知的情况下，对均值的检验（一个总体或两个总体
2、）。1.单个正态总体情形2T设总体X~N(µ,σ)，样本(X,X,?,X)来自总体X，12n2σ已知.1°提出假设:H0：µ=µ；H1：µ≠µ00X−µ02°取检验统计量：U=，在H0成立的条件下，σnX−µ0U=~N(0,1)σnα3°给定显著性水平α，由Φ(uα)=1−,查正态表可得22临界值uα.使P{U≥uα}=α22拒绝域：W={(x1,x2,?,xn):u≥uα}.2yααy=ϕ(x)22x−uαOuα224°由样本值计算U的观察值u.05°作判断：若u∈W，则拒绝H0；否则，若u∈W，则00接
3、受H0.2．两个正态总体情形两个总体U检验适应的问题的一般提法如下：设2(X,X,?.,X)为出自N(µ,σ)的样本，(Y,Y,?.,Y)为出12n11112n2自2N(µ,σ)的样本，σ,σ已知，两个总体的样本之间独2212立.1°提出假设:H0：µ=µ；H1：µ≠µ1212(X−Y)2°取检验统计量：U=22σσ12+nn12(X−Y)在H0成立的条件下，U=~N(0,1)22σσ12+nn12α3°给定显著性水平α,由Φ(uα)=1−,查表可得临界22值uα，使P{U≥uα}=α22拒绝域：W={(x
4、1,x2,?,xn1;y1,y2,?,yn2):u≥uα2}.4°由样本值计算U的观察值u.05°作判断：若u∈W，则拒绝H0；否则，若u∈W，则接00受H0.例1一卷烟厂向化验室送去A,B两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从A,B中各随机抽取重量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量(单位：毫克)为：A：2427262124B：2728233126据经验知，尼古丁含量服从正态分布，且A种的方差为5，B种的方差为8，取α=0.05，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？解设两种烟草的尼古丁平均含量分别为µ和µ.
5、121°提出零假设:H0：µ=µ；H1：µ≠µ1212(X−Y)2°取检验统计量：U=22σσ12+nn12(X−Y)在H0成立的条件下，U=~N(0,1)22σσ12+nn123°给定显著性水平α=0.05，由Φ(u)=0.975查0.025表可得临界值u=1.96.使P{U≥u}=0.050.0250.025拒绝域：W={(x,x,?,x;y,y,?,y):u≥1.96}.12n112n24°由样本值：n=n=5,x=24.4,y=27计算U的观察12值u.0(x−y)24.4−27u===−1.612
6、02258σσ1+2+nn55125°作判断：因为u∈W，所以接受H0，即在显著水0平α=0.05下，认为两种烟草的尼古丁含量是无显著差异.（二）t检验1.方差未知时，单个正态总体均值的检验22设总体服从正态分布N(,)µσ,,µσ均为未知参数，X,?X是总体容量为n的样本，欲检验假设1nHH::µ=µµ↔≠µ。0010一个自然的想法是以样本修正方差代替总体方差,构造X−µ0统计量T=*S/nnn*221其中Sni=−∑()XX。当H0成立时，T服从自由度n−1i=1为n−1的t分布。当
7、
8、T的值大时，假设
9、不大可能成立，应否定H。所以，0对给定01<α<，由t分布表即可得检验的临界值tn(1−)α/2使PTtn{
10、
11、≥−(1)}=α，α/2
12、
13、X−µ即0Pt{(≥−n1)}=α，*α/2Sn/n
14、
15、x−µ故检验的拒绝域为0Wx={:≥−tn(1)}。*α/2Sn/n若
16、
17、Ttn≥−(1)，拒绝假设H，即认为总体均值与µ有显α/200著差异；当
18、
19、Ttn<−(1)，则接受H，即认为总体均值与α/20µ无显著差异。这种利用服从t分布的统计量作为检验统0计量的检验方法称为t检验法。**双边t检验的势函数为βδ()=
20、≥−PTtn{
21、
22、(1)}µα/2∞xt(1n−)n−2α/2=−1(kxx∫ϕ)[Φ[−δ]0n−1−−xt(1n)α/2−Φ[]−δ]dxn−11(3n−)n−1其中k=Γ2/2π2()，ϕ和Φ分别为标准正态分布的2n()µ−µ密度和分布函数，0δ=。β()δ作为δ的函数，具σ有下述性质：()i关于δ=0是对称的；()ii是
23、
24、δ的增函数。就是说，它的表现和H:µ=µ（200σ已知）的双边检验的势函数是相象的
