华东师范大学2008高等代数

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1、华东师范大学2008年高等代数试题Z为整数集，Q为有理数域，R实数域E表示单位矩阵，A′表示A的转置。第一部分选择题、是非题、填空题：（15*4=60分）1．设α1,α2,α3是非齐次线性方程组AX=B的三个解，则下列向量中，（）仍是AX=B的解.31（A）α−α（B）α−2α+α（C）α+α−α（D）α−α+α1212312312322232．设A是一个n阶方阵，则线性空间W=L(E,A,A,A,⋯)的维数dimW等于（）（A）A的特征多项式的次数（B）A的最小多项式的次数（C）A的初等因子的个数（D）A的秩

2、3．每个2007阶实矩阵至少有一个实特征值.（√）−14．设A是由数域K上n维线性空间V的一个线性变换，则V=AV⊕A(0).（×）5．设A是一个三阶实对称矩阵，1，-1是A的两个特征值，其中-1是A的一个′二重特征值。已知(1,1,1)是A的属于特征值1的特征向量.则()′′1,−1,0(1,1,0)是A的属于特征值-1的正交特征向量.6设α=(1,−1,3),α=(2,−1,1),α=(−1,−1,7),β=(−1,0,2),β=(a,1,1),12312β=(4,−1,a)，如果向量组{α,α,α}与向量

3、组{β,β,β}等价，则3123123a=-3.7．对任意实矩阵A，齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组A′AX=0的解都相同.（√）8．对于多项式f(x)，下列论断正确的是．1(A)如果对任意的a∈Q，都有f(a)∈Q，则f(x)的系数都是有理数；(B)如果对任意的a∈R，都有f(a)∈R，则f(x)的系数都是实数；(C)如果对任意的a∈Z，都有f(a)∈Z，则f(x)的系数都是整数；(D)如果对任意的a>0，都有f(a)>0，则f(x)的系数都是正数.9正交变换的属于不同的特征值的特征向量正交。（√）31

4、0．如果f(x)=x−ax+2有有理根，则a=3or-1。11．x=a为多项式f(x)的k重根的充分必要条件是x=a为f′(x)的k−1重根。（×）12．设A是的m×n(m≤n)矩阵，B是m维列向量，则下列命题正确的是（）(A)当AX=0有非零解时，则AX=B也有解；(B)当AX=B有解时，则AX=0必有无穷多解；(C)当AX=0有唯一时，则AX=B也有唯一解；(D)当AX=B无解时，则AX=0仅有零解.3213．已知矩阵A的特征多项式f(x)=x+x−2，则A+2E的逆矩阵是1(2)A−A+2.622214．

5、实二次型f(x,x,x)=2x−x+3x−2xx+xx的正、负惯性指数分别是12312312131and2.2nn15．已知A是n阶方阵，如果A=O，则A=O.（√）第二部分计算题、证明题（共6题，共90分）16．（20分）设A是由数域K上一个m×n矩阵，B是一个m维非零列向量。n令W={α∈Kt∈K,Aα=tB}nn（1）证明：W关于K的运算构成K的一个子空间；（2）设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r，证明W的维数dimW=n−r+1；2（3）对于非齐次线性方程组⎧2x1−x2+x3+3x4=−1⎪

6、⎨x1+2x2+3x3−x4=2⎪⎩4x+3x+7x+x=31234求W的一个基。解：（1）取α∈W,β∈W，则∃tt,，s.t.Aα=tBA,α=tB，则∀∈kK，1212A(α+β)=Aα+Bβ=t1B+t2B=(t1+t2)BA(kα)=kAα=kt1B即α+β∈W，kα∈Wnn从而W关于K的运算构成K的一个子空间；（2）若rankA

7、的解空间的维数为nr−，有dimW≥n−+r1任AX=B的解X，则X与AX=O的解线性无关，∀∈αW，若11Aα=O，则α能由AX=O的基础解系线性表示，若AX≠O，则∃t，s.t.Aα=tB，则t≠0，则⎛α⎞A⎜⎟=B⎝t⎠α故−X能有AX=O的基础解系表示，即α能由X和AX=O基础解系表11t示，从而dimW≤n−+r1，即W的维数dimW=nr−+13⎡2−113−1⎤⎡123−12⎤（3）由⎢123−12⎥→⎢011−11⎥，从而可知⎢⎥⎢⎥⎢⎣43713⎥⎦⎢⎣00000⎥⎦′−′−−′[0,1,0

8、,0,][1,1,0,1,][1,1,1,0]是W的一组基.⎛5−13⎞⎜⎟17．（10分）试求矩阵A=⎜−83−6⎟的若当典范形（Jordancanonical⎜⎝−82−5⎟⎠form）.解：由⎡λ−513⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥λE−A→8λ−36→⎢λ−1⎥，⎢⎥⎢⎣8−2λ+5⎥⎦⎢(λ−1)2⎥⎢⎣⎥⎦从而它的若尔当典范型为⎡1⎤⎢⎥J=1.⎢⎥⎢⎣11⎥⎦⎛211⎞⎜⎟18．（2