《[华东师范大学]华东师范大学高等代数考研试题》.doc

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1、华东师范大学2005年高等代数考研试题一．填空、选择、是非题（共15小题，满分60分，每小题4分）1．设3阶方阵的特征值为2，3，5，则2．如果是的2重根，则一定是多项式的5重根。3．设向量组…，线性相关，且其中任意个向量线性无关，则存在全不为0的 数…，，使得4．设与分别是数域上8元齐次线性方程组与的解空间，如果，，那么5．实反对称矩阵的非零特征值必为：A.正实数B.负实数C.1或-1D.纯虚数6．若三次实系数多项式恰有一个实根，为的判别式，则A.B.C.D.7.3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有个8．设是

2、行列式等于-1的正交变换，则一定是的特征值。9．排列与排列具有相同的奇偶性的充要条件是10．设是数域上非齐次线性方程组的特解，是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是：A.是的一组线性无关解向量；B.的每个解均可表为的线性组合。C.是的解；D.的每个解均可表为的线性组合。11．以下各向量组中线性无关的向量组为：A.B.C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)12. 由标准欧几里得空间中的向量组，，，张成的子空间W的一

3、组规范正交基为13．设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则=W（A）（B）（C）=（D）14．的逆矩阵15．设,如果，则二、计算题16．（12分）求实二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩。17．（18分）讨论满足什么条件时下列方程有解，并求解18．（12分）试在有理数域、实数域以及复数域上将分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。19．（18分）已知是六阶方阵A的极小多项式，且Tr(A)=6,试求（1）A的特征多项式及其若尔当典范型；（2）A的伴随矩阵的若尔当典范型。三、证明题20．（10

4、分）设是实对称矩阵A的特征多项式，证明：A是负定矩阵的充要条件是。21．（10分）证明：如果n阶行列式中所有元素都为1或-1，则当时，22．（10分）证明：每个秩为r的n阶（r