4 向量组的线性相关性

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1、第四章向量一内容概要1向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等；2向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；3向量组的线性关系（1）线性组合：对于给定的向量组；如果存在一组数使得：则称向量的一个线性组合，或称可以由向量组：线性表示；（2）线性相关、线性无关的定义设是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数使得：则称向量组线性相关指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。反之则称向量组线性无关，即若

2、要成立，必有，则称向量组线性无关。（3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系向量组线性关系式具体表示出来实际上就是一个方程组：-20-其中：因此，通俗的话来说，向量组线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。这是判断一个向量组是否线性相关最常用的方法。（2）向量设的意义同上，则方程组可表示成：，或因此向量的充要条件是方程组有解。如果有唯一的解，则，且表示法是唯一的。如果方程组有无穷多组解，则，且表示法有无穷多种，此时向量组线性相关。如果方程组无解，则。4关于向量组的等价（1）设向量组Ⅰ：Ⅱ如果向量组Ⅱ中每一个向量可以被向量组

3、Ⅰ线性表示，则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是：（2）如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示，则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。-20-（1）如果向量组Ⅰ与Ⅱ等价，且Ⅱ与Ⅲ等价，则Ⅰ与Ⅲ等价；这就是说，等价具有传递性；（2）设等价；则向量组等价；5向量组的极大线性无关组（1）极大线性无关组的定义向量组Ⅰ：的一个部分组本身是线性无关的，其次再任意添进去一个都线性相关，则称是向量组Ⅰ：的一个极大线性无关组；特别注意：1一个向量组若仅含有一个0向量，此时不存在极大线性无关组，或称其极大线性无关组所含有向量的个数为0；2若向量组本身是线性无关的

4、，则其极大线性无关组就是该向量组本身；3一个向量组的极大线性无关组可能不止一组，可能有很多组；4如果向量组Ⅲ与Ⅱ都是向量组Ⅰ的极大线性无关组，那么这两个向量组Ⅱ与Ⅲ是等价的，因而所含有的向量的个数是相同的；6向量组的秩（1）向量组秩的定义：向量组Ⅰ：的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组Ⅰ的秩；（2）设：Ⅰ：Ⅱ，若Ⅰ可以被Ⅱ线性表示，则r(Ⅰ)r(Ⅱ);-20-(3)若向量组Ⅰ与Ⅱ等价，则其秩相同，即等价的向量组其秩是相同的；但注意反之是不能成立的，即两个向量组的秩相同，但未必等价。7关于线性相关性常用的结论（1）若一

5、个向量组仅含有一个向量（2）若一个向量组含有0向量，则此向量组一定线性相关；（3）若一个向量组仅含有两个向量，则此向量组线性相关的充要条件是对应分量成比例；（4）向量组Ⅰ：线性相关的充要条件是：至少有一个向量可被其余向量线性表示；（5）若向量组Ⅰ：线性无关，而向量组：线性相关，则向量一定可以被线性表示，且表示式是唯一的；（6）若向量一定可以被线性表示，且表示式是唯一的，则向量组Ⅰ：一定线性无关；（7）若Ⅰ：中有部分组线性相关，则原向量组一定线性相关；若原向量组Ⅰ：线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关；（8）若Ⅰ：可被向量

6、组Ⅱ线性表示，且s>t,则Ⅰ：必是线性相关的；即多的能被少的线性表示，则多的向量组一定线性相关；这个定理是比较重要的。（9）若Ⅰ：是一个n维向量组，且s>n，则此向量组一定线性相关；这是因为Ⅰ：可被线性表示；例如：在三维几何空间中，任意四个向量都是线性相关的，而在二维空间平面上，任意三个向量都是线性相关的；-20-（1）若Ⅰ：可被向量组Ⅱ线性表示，且Ⅰ线性无关，则必有这只要反证即可：即若s>t，则应用上面的结论，则Ⅰ线性相关，与条件矛盾；（2）若Ⅰ：与向量组Ⅱ是等价的，且这两个向量组都是线性无关的，则必有s=t；这只要应用上

7、面的结论即可；（3）若Ⅰ：与向量组Ⅱ是等价的，则其秩相同。这是因为Ⅰ与Ⅱ等价，那么它们的极大线性无关组也是等价的，因而其秩相同；从而向量组Ⅰ的不同的极大线性无关组所含有向量个数相等；（4）若Ⅰ：线性无关，则它的延伸组Ⅱ：也必是线性无关，反之若Ⅱ线性相关，则原向量组也必是线性相关；事实上，这只要考虑方程组Ⅰ：与方程组Ⅱ：的解集关系即可。显然Z(Ⅱ)Z(Ⅰ)若向量组Ⅰ：线性无关Z(Ⅰ)=,又Z(Ⅱ),故Z(Ⅱ)=；另一个同理可证。（5）设Ⅰ：，则Ⅰ：线性无关的充要条件是：-20-证明：设若Ⅰ：线性无关由这个结论可以得到一个常见问

8、题的一般解法：例如，三个三维向量要判断它是否线性相关，这只要考虑是否为0即可，如果等于0，那么它是线性相关的，若不是0，则是线性无关的。8关于向量空间（数一用）（1）定义：设V是一个n维向量的一个集合，且非空，如果集合V中的向量对于向量的加法，和数乘仍然还在集合V中，即对于任意的则称V是一