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1、第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间1§4.1向量组及其线性组合三维空间的向量:有向线段。建立空间直角坐标系后，它由一点P或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。2在建立空间直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把n元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘
2、运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。3定义n个数组成的有序数组称为一个n维行向量或n维列向量,其中称为该行(列)向量的第i个分量.行向量与列向量统称为向量.分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量,n维实(复)向量的全体记为.以后如无特殊说明,向量均指实向量.约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.或4由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组.如:m×n的矩阵A全体列向量是含n个m维列向量的向量组,简称A的列组;全体行向量是含
3、m个n维的行向量组,简称A的行组.再如:解的全体是一个含无穷多个n维列向量的向量组.定义5观察如图三维空间中的向量,必有不可能6对于向量组,表达式称为向量组A的一个线性组合.又如果是向量组A的一个线性组合,即则称向量可由向量组A线性表示.定义7(1)向量可由向量组线性表示存在数使上面方程组有解.即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果……(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)8(2)如果向量组中的每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示.有解(改写为矩阵)(转换为矩阵方程)(用矩阵的秩)一个向量组
4、表示另一向量组就是矩阵乘法的关系!9(3)如果向量组与向量组可以相互表示,则称这两个向量组等价.向量组A与向量组B等价(1)向量组的等价关系是不是等价关系?(用矩阵的秩)(2),A的行组与B的行组等价吗?关于线性表示的三种情况关键是学会转换10例1解记问为何值时,不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并求所有表示方法.设向量组A:向量只需讨论解的情况.这就是P76例12.结论是时,方程组无解,不能由A表示.时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.11时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.通解为所有表示方法:其中k为任意实数.即12例2(P87例3
5、)设n维向量组构成的矩阵为,证明n阶单位矩阵E的列组可由向量组A线性表示的的充要条件是(即A是行满矩阵).证上述问题等价地问有没有解.该题已经作为例题讲过了,这就是P81的第19题.13，例3向量组A与向量组B等价吗?解法一又易知,故等价.14解法二最简阶形一样(不计零行),故等价.15例4(P108习题5)已知证明(1)能线性表示;(2)不能由线性表示.证如果则与条件矛盾.(2)要证(1)要证16第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间17§4.2向量组的线性相关性看
6、看三维空间中的向量(如图)设可表为,说明这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示,说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内(共面).18我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.定义向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关;否则,如果任一向量都不由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立).设向量组如果其中一个该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导.如何改成数学表达式?19等价定义如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关.否则,如果设便能推出则称该向量组线性无关.按后者不妨设则符合前面定义.反之,按前者不妨设又符合后者
7、定义.等价吗?20存在不全为零的数使即有非零解.与以前类似，还是转换！向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)上面方程组有非零解.(用矩阵的秩)21(P88例5)问向量组和的线性相关性?的线性相关.的线性无关.例122t取何值时,下列向量组线性相关?解记当t=5时,上面向量组线性相关.例223设线性无关,问满足什么时,线性相关.向量组:分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,首先要把它改写成矩阵乘积的形式.则例324设(要讨论上面方程组何时有非零解)由于故25上面方程组有非零解当时,线性相关.26另证:由于是列满秩矩阵,故线性相关上面秩<3殊途同归27证明向量组
8、线性无关.
