9-2简单几何体的表面积和体积

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1、b1.(2010·新课标全国理)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa2[答案]　B[解析]　三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：O1B＝×＝，所以半径R2＝2＋2＝，所以球的表面积是S＝4πR2＝，故选B.bb2.(2010·陕西文，8)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)A．2B．1C.D.[答案]　B[解析]　由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图

2、所示，其体积为V＝××1×＝1.3．(2010·北京东城区)如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cmbb，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为(　　)A．29cm　　B．30cm　C．32cm　　D．48cm[答案]　A[解析]　如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体

3、积相等得9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)，∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.[点评]　抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．bb4．(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．9π＋42B．36π＋18C.π＋12D.π＋18[答案]　D[解析]　由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V球＝π·()3＝，V长方体＝2×3×

4、3＝18.所以V总＝π＋18.5．(文)(2010·河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是(　　)A．96　　B．48　　C．24　　D．16[答案]　B[解析]　bb已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝，∴R＝2，a＝4，于是V＝a2·2R＝48.(理)(2010·辽宁文，11)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于(　　)A．4π　　　B．3π　　　C．2π　

5、　　D．π[答案]　A[解析]　∵AB⊥BC，∴AC为截面圆的直径，∴AC中点为截面圆的圆心设D为AC中点，连OD，则OD⊥平面ABC∵SA⊥平面ABC∴SA∥OD连SC则SC＝＝＝2又SB＝，BC＝，∵SC2＝SB2＋BC2∴∠SBC＝90°，∵∠SAC＝90°，∴SC为球O的直径∵2R＝2　故R＝1，∴S球＝4πR2＝4π，选A.6．(2010·北京文，8)如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱ADbb上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积(　　)A．与x，y都有关B．与x

6、，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关[答案]　C[解析]　设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C.7.(2011·湖州模拟)如下图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．bb[答案]　[解析]　由展开图可知，该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴高h＝＝，∴体积V＝×12×＝.8．

7、(2011·福建文，20)如下图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析]　(1)∵PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD∴CE⊥PA，bb又∵AB⊥AD，CE∥AB.∴CE⊥AD.又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝