高等数学极限运算法则

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1、第一章第五节极限运算法则定理4.若则有推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)定理5.若且B≠0,则有一、极限的四则运算法则则有定理3.若x=3时分母为0!例4.例5.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因例6.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式一般有如下结果：为非负常数)3.求解法1原式=解法2令则原式=定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得二、、复合函数的极限运算法则例7.求解:令已知∴原式=例8.求解:方法1则令∴原式方法2内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方

2、法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问一.函数极限存在的夹逼准则定理2.且第六节极限存在准则及两个重要极限证明证:当时,设则当则从而有故也可写为时,令用于1型例：1、求原式公式：证:当即时，例.1、求解:原式2、求解:原式=3、求解:令则因此原式令第一章都是无穷小,第七节引例.但无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较定义：设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高

3、阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小记作记作或例如,当～时又如，时是关于x的二阶无穷小,～且例.当时,是的几阶无穷小?解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数例.证明:当时,～证:～～～～～～常用等价无穷小:～～～～～说明：以上各式中的x可换为任意无穷小～～定理1.证:即即例如,～～故定理2.设且存在,则证:例如,自变量变化过程相同设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),例如,去掉高阶(2)和差代替规则:例如,和差代替有条件因式代替规则:界,则例如,乘除

4、可代替例1.求解:原式乘除可代替和差代替有条件例2.求解:第八节函数的连续性与间断点一、函数连续性的定义1、f(x)在x0点处连续对自变量的增量有函数的增量称函数在点连续反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。定义：f(x)在x0的某一邻域内有定义1、可正可负，不为零。2、可正可负可为零。例.证明函数在内任意一点连续.证:即这说明在内任意一点连续.函数在点连续有下列等价命题:可见,函数在点定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

5、.2、f(x)在区间上连续称f(x)在x0点处左连续称f(x)在x0点处右连续其图像是一条连续而不间断的曲线。ab在二、函数的间断点(1)函数(2)不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.左连续右连续第一类间断点可去间断

6、点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式3、若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.其图像是一条连续而不间断的曲线。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调

7、递增,其反函数在上也连续单调递增.即：设函数于是复合函数又如,且即例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数有限次四则运算的结果连续连续函数的反函数连续有限个连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例如,三、求连续区间、并讨论间断点。1、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。例：讨论的连续区间及间断点例：讨论的连续区间及间断点2、分段