高等数学-极限的运算法则

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1、第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证明思路:先考虑两个无穷小的和.类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.机动目录上页下页返回结束说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有定理3.若机动目录上页下页返回结束定理4.若则有说明:定理3和4均可推广到有限个函数的情形.推论1.(C为常数)推论2.(

2、n为正整数)例.设n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束定理5.若且B≠0,则有说明：指数为自然数的幂函数与多项式函数的连续性！定理6.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束x=3时分母为0!例.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若机动目录上页下页返回结束例.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)机动目

3、录上页下页返回结束定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法则(分步求极限！)例.求解:令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束例.求解:机动目录上页下页返回结束例.求原式=解:内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:不

4、存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束3.试确定常数a使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此作业P481（5），（7），（9），（12）2；3第六节目录上页下页返回结束