4、25⎠二．选择题（每小题3分，共15分）⎛102⎞⎜⎟1．设A是3×3矩阵，且r(A)=2，又B=⎜030⎟，⎜⎟⎝405⎠T则r(BAB)=（B）。A．1；B.2；C.3；D.不确定2.设向量组α,α,α线性无关,则下列向量组中线性无关的是(D)。123A．α−α,α−α,α−α；122331B．α+2α+α,α+α,α+α；1232312C．α+α+α,2α−3α+22α,3α+5α−5α；123123123D．α+2α+3α,2α+3α+α,3α+α+2α1231231231*3．设A是3阶方阵，且A=1，A是A的伴随矩阵，则（A）。*****A．(A)=A；B.(A)=A；C.(A*
5、)*=A−1；D．(A*)*=ATn11⋯11n−11⋯14．设D=11n−2⋯1，则D=（C）。nn⋯⋯⋯⋯⋯111⋯1n(n−1)A．n!；B．；2n(n+1)C．(n−1)!；D．25．设A,B都是n阶方阵，且A与B相似,则（D）。A．λE−A=λE−B；B．A与B有相同的特征值和特征向量；C．A与B都相似于一个对角矩阵；D．对任意常数t,tE−A与tE−B相似三．计算题（共54分）111112481．（本题8分）计算行列式：D=。4139271416641111123123012326解：D4==3815=026==120381512427266301224072663⎛250⎞⎜⎟
6、*−12．（本题10分）设A,B为3阶方阵，已知A=⎜110⎟，并且A,B满足：ABA=E+A，求矩阵B。⎜⎟⎝00−1⎠2*-1*-11∵A=
7、A
8、A∴（A）=A
9、A
10、*-1-1-11-1-1∴B=（A）（E+A）A=A（E+A）A
11、A
12、1-1-11-1=（A+E）A=（E+A）
13、A
14、
15、A
16、⎛15⎞⎜−0⎟−1⎜33⎟250⎛250⎞12-1⎜⎟⎜−0⎟
17、A
18、=110=3A=⎜110⎟=⎜33⎟00−1⎜⎝00−1⎟⎠⎜00−1⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎡15⎤⎞⎡25⎤⎜−0⎟0⎢⎥⎢⎥⎜⎡100⎤33⎟991⎜⎢⎥⎢12⎥⎟⎢11⎥∴B=010+⎢−0⎥=⎢0⎥3⎜⎢⎥⎢33⎥⎟⎢99⎥⎜⎢⎣001
19、⎥⎦⎢00−1⎥⎟⎢000⎥⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎣⎦⎠⎣⎦λχ+χ+χ=11233（本题14分）设方程组χ+λχ+χ=λ,试问λ分别为何值时1232χ+χ+λχ=λ123(1)方程组有唯一解；(2)方程组无解；(3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。22⎛λ111⎞⎛11λλ⎞⎛11λλ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟2⎜1λ1λ⎟⎜1λ1λ⎟⎜0λ−11−λλ−λ⎟解：→→⎜11λλ2⎟⎜⎟⎜23⎟λ11101−λ1−λ1−λ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠32⎛11λλ⎞⎜⎟⎜0λ−11−λλ(1−λ)⎟→⎜2⎟00(1−λ)(2+λ)(1+λ)(1−λ)⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴（1）λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯
20、一解。（2）λ=-2时，方程组无解。⎧x=1−x−x⎪123⎪（3）λ=1时，有无量多解，通解：⎨x2=x2⎪⎪⎩x3=x3⎛−122⎞⎜⎟4．（本题12分）求矩阵A=⎜2−1−2⎟特征值与特征向量。⎜⎟⎝2−2−1⎠解λ+1-2-2322(1)λE−A=-2λ+12=λ+3λ−9λ+5=(λ−1)(λ+5)=0-22λ+1∴特征值为λ=1,λ=−512当λ=-5时⎛−4-2-2⎞⎛22-4⎞⎛224⎞⎛112⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟λI−A=⎜-2-42⎟→⎜-2-42⎟→⎜0-2-2⎟→⎜011⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝22-4⎠⎝-4-2-2⎠⎝022⎠⎝000⎠特征向量可取为ξ1=（-1，-1，
21、1）当λ=1时⎛2-2-2⎞⎛1-1-1⎞⎜⎟⎜⎟λI−A=⎜-222⎟→⎜000⎟⎜⎟⎜⎟⎝222⎠⎝000⎠取特征向量为ξ2=（1，1，0），ξ3=（1，1，0），4−11(2)∵设A的特征值λ则A的特征值为i,λi−119则2E+A的特征值为2+,即为:3或λ5i5．（本题14分）设α=(1,−1,2,4),α=(0,3,1,2),α=(3,0,7,14),α=(2,1,5,10),1234(1)求向量
