4、25⎠二.选择题(每小题3分,共15分)⎛102⎞⎜⎟1.设A是3×3矩阵,且r(A)=2,又B=⎜030⎟,⎜⎟⎝405⎠T则r(BAB)=(B)。A.1;B.2;C.3;D.不确定2.设向量组α,α,α线性无关,则下列向量组中线性无关的是(D)。123A.α−α,α−α,α−α;122331B.α+2α+α,α+α,α+α;1232312C.α+α+α,2α−3α+22α,3α+5α−5α;123123123D.α+2α+3α,2α+3α+α,3α+α+2α1231231231*3.设A是3阶方阵,且A=1,A是A的伴随矩阵,则(A)。*****A.(A)=A;B.(A)=A;C.(A*
5、)*=A−1;D.(A*)*=ATn11⋯11n−11⋯14.设D=11n−2⋯1,则D=(C)。nn⋯⋯⋯⋯⋯111⋯1n(n−1)A.n!;B.;2n(n+1)C.(n−1)!;D.25.设A,B都是n阶方阵,且A与B相似,则(D)。A.λE−A=λE−B;B.A与B有相同的特征值和特征向量;C.A与B都相似于一个对角矩阵;D.对任意常数t,tE−A与tE−B相似三.计算题(共54分)111112481.(本题8分)计算行列式:D=。4139271416641111123123012326解:D4==3815=026==120381512427266301224072663⎛250⎞⎜⎟
6、*−12.(本题10分)设A,B为3阶方阵,已知A=⎜110⎟,并且A,B满足:ABA=E+A,求矩阵B。⎜⎟⎝00−1⎠2*-1*-11∵A=
7、A
8、A∴(A)=A
9、A
10、*-1-1-11-1-1∴B=(A)(E+A)A=A(E+A)A
11、A
12、1-1-11-1=(A+E)A=(E+A)
13、A
14、
15、A
16、⎛15⎞⎜−0⎟−1⎜33⎟250⎛250⎞12-1⎜⎟⎜−0⎟
17、A
18、=110=3A=⎜110⎟=⎜33⎟00−1⎜⎝00−1⎟⎠⎜00−1⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎡15⎤⎞⎡25⎤⎜−0⎟0⎢⎥⎢⎥⎜⎡100⎤33⎟991⎜⎢⎥⎢12⎥⎟⎢11⎥∴B=010+⎢−0⎥=⎢0⎥3⎜⎢⎥⎢33⎥⎟⎢99⎥⎜⎢⎣001
19、⎥⎦⎢00−1⎥⎟⎢000⎥⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎣⎦⎠⎣⎦λχ+χ+χ=11233(本题14分)设方程组χ+λχ+χ=λ,试问λ分别为何值时1232χ+χ+λχ=λ123(1)方程组有唯一解;(2)方程组无解;(3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。22⎛λ111⎞⎛11λλ⎞⎛11λλ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟2⎜1λ1λ⎟⎜1λ1λ⎟⎜0λ−11−λλ−λ⎟解:→→⎜11λλ2⎟⎜⎟⎜23⎟λ11101−λ1−λ1−λ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠32⎛11λλ⎞⎜⎟⎜0λ−11−λλ(1−λ)⎟→⎜2⎟00(1−λ)(2+λ)(1+λ)(1−λ)⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴(1)λ≠-2且λ≠1时,方程组有唯
20、一解。(2)λ=-2时,方程组无解。⎧x=1−x−x⎪123⎪(3)λ=1时,有无量多解,通解:⎨x2=x2⎪⎪⎩x3=x3⎛−122⎞⎜⎟4.(本题12分)求矩阵A=⎜2−1−2⎟特征值与特征向量。⎜⎟⎝2−2−1⎠解λ+1-2-2322(1)λE−A=-2λ+12=λ+3λ−9λ+5=(λ−1)(λ+5)=0-22λ+1∴特征值为λ=1,λ=−512当λ=-5时⎛−4-2-2⎞⎛22-4⎞⎛224⎞⎛112⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟λI−A=⎜-2-42⎟→⎜-2-42⎟→⎜0-2-2⎟→⎜011⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝22-4⎠⎝-4-2-2⎠⎝022⎠⎝000⎠特征向量可取为ξ1=(-1,-1,
21、1)当λ=1时⎛2-2-2⎞⎛1-1-1⎞⎜⎟⎜⎟λI−A=⎜-222⎟→⎜000⎟⎜⎟⎜⎟⎝222⎠⎝000⎠取特征向量为ξ2=(1,1,0),ξ3=(1,1,0),4−11(2)∵设A的特征值λ则A的特征值为i,λi−119则2E+A的特征值为2+,即为:3或λ5i5.(本题14分)设α=(1,−1,2,4),α=(0,3,1,2),α=(3,0,7,14),α=(2,1,5,10),1234(1)求向量